Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып

$S=\{1,\ 2, \ldots,\ n\}$ болсын. $\varnothing \subseteq A\subseteq B\subseteq C\subseteq S$ және $|B|=\dfrac{|A|+|C|}{2}$ шартын қанағаттандыратын барлық мүмкін болатын $\left( A,B,C \right)$ үштіктерінің жалпы саны $C_{2n}^{n}$-ке тең екенін дәледдеңіздер. Мұндағы $|X|$ дегеніміз $X$ жиынындағы элементтердің жалпы санын біддіреді, ал $C_{2n}^{n}=\dfrac{(2n)!}{n!n!}$.