Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020учебный год, II тур заключительного этапа

Сумма дробных частей нескольких положительных чисел равна целой части их произведения. Докажите, что дробная часть суммы этих чисел равна произведению их целых частей. Напомним, что целая часть $[x]$ числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. ( М. Дидин )

Комментарий/решение

Перепишем условие в виде $\sum \limits_{i=1}^{n}{\{a_i\}}=\prod \limits_{i=1}^{n}{a_{i}} = \sum \limits_{i=1}^{n}{a_i} - \sum \limits_{i=1}^{n}{[a_i]} \Rightarrow \sum \limits_{i=1}^{n}{a_i} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \{\sum \limits_{i=1}^{n}{a_i}\} = 0$. Тогда чтобы выполнялось $\{\sum \limits_{i=1}^{n}{a_i}\} = [\prod \limits_{i=1}^{n}{a_{i}}]$, достаточно показать, что хотя бы одно из чисел меньше $1$. Пусть $\forall a_{i} \geq 1$, если $b_{i} = \{a_{i}\}$, то $\sum \limits_{i=1}^{n}{\{a_i\}} = \prod \limits_{i=1}^{n}{a_{i}} = \sum \limits_{i=1}^{n}{b_{i}} \geq \prod \limits_{i=1}^{n}{b_{i}+1} \geq \sum \limits_{i=1}^{n}{b_{i}} + 1$, что невозможно. Значит $\{\sum \limits_{i=1}^{n}{a_i}\} = [\prod \limits_{i=1}^{n}{a_{i}}] = 0$, что и требовалось доказать.