Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 11 сынып
Комментарий/решение:
Лемма 1: Отражения ортоцентра H относительно середины стороны BC и основания высоты из A - H1 и H2, соответственно, принадлежат (ABC), причем AH1 является диаметром (ABC) и оба отрезка HH1,HH2 делятся BC пополам.
Лемма 3: Обозначения те же, что и в Лемме 2. Если AT∩BC=L, то L - точка касания вневписанной окружности ⇔BL=DC
Лемма 4: AH и AO - изогонально сопряжены ⇔∠BAO=∠HAC
Домашнее задание от Тайлера Дердена: докажите эти леммы самостоятельно.
Пусть AH∩(ABC)=E′:
Тогда из Леммы 1, E′ симметрична H относительно BC, а значит ∠E′CB=∠HCB
Пусть OE′∩BC=D′:
OE′=OA⇒∠OE′H=∠OAE′=∠D′HE′=∠D′E′H из чего в купе с Леммой 1 следует, что D′=D⇒E′=E (1)
Пусть теперь AO∩(ABC)=A′,DT - диаметр вписанной, AT∩BC=L, M - середина BC:
Из Леммы 1: A′M=MH, с другой стороны, по Лемме 3, LM=MD, из чего следует, что LA′HD - параллелограмм, а значит, по условию, AO совпадает с AL.
Заметим теперь, что ON∥TD, с другой стороны, если AL∩BC=L′, то ON - средняя линяя △L′TD, а значит ON=12TD=ID, значит OIDN - параллелограмм (а именно, прямоугольник) ⇔OI∥BC
Пусть α=∠LAE=∠OEH=∠DHE=∠DEA, а ∠C=2β⇔∠EAC=90−2β=∠BAO (по Лемме 4)
Из этого следует, что ∠EOI=∠DOI=90−∠ODI=90−α
Заметим, что ∠DEC=∠DEA+∠AEC=α+180−2(90−2β)−α−2β=α+2β−α=2β, а т.к DF - медиана в прямоугольном △IDC, ∠DFC=180−2∠FCD=180−2β, то DFCE - вписан, откуда, ∠EFC=∠EDC=∠DOI=90−α=∠EOF, откуда и следует требуемое. ◻
Я ставлю этому решению столько же баллов, сколько у меня на Респе 2022.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.