Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 11 сынып


B<C болатындай ABC сүйiр бұрышты үшбұрышы берiлсiн. ABC үшбұрышына iштей сызылған шеңбердiң центрi — I арқылы, сырттай сызылған шеңбердiң центрi — O арқылы, ал ортоцентрi — H арқылы белгiленген. ABC үшбұрышына iштей сызылған шеңбер BC қабырғасын D нүктесiнде жанап өтсiн, және AO HD-ға параллель болсын. E нүктесi — OD және AH түзулерiнiң қиылысу нүктесi, F нүктесi — CI кесiндiсiнiң орта нүктесi болсын. I, O, E және F нүктелерi бiр шеңбердiң бойында жататынын дәлелдеңiз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
2 года 2 месяца назад #

Лемма 1: Отражения ортоцентра H относительно середины стороны BC и основания высоты из A - H1 и H2, соответственно, принадлежат (ABC), причем AH1 является диаметром (ABC) и оба отрезка HH1,HH2 делятся BC пополам.

Лемма 3: Обозначения те же, что и в Лемме 2. Если ATBC=L, то L - точка касания вневписанной окружности BL=DC

Лемма 4: AH и AO - изогонально сопряжены BAO=HAC

Домашнее задание от Тайлера Дердена: докажите эти леммы самостоятельно.

Пусть AH(ABC)=E:

Тогда из Леммы 1, E симметрична H относительно BC, а значит ECB=HCB

Пусть OEBC=D:

OE=OAOEH=OAE=DHE=DEH из чего в купе с Леммой 1 следует, что D=DE=E (1)

Пусть теперь AO(ABC)=A,DT - диаметр вписанной, ATBC=L, M - середина BC:

Из Леммы 1: AM=MH, с другой стороны, по Лемме 3, LM=MD, из чего следует, что LAHD - параллелограмм, а значит, по условию, AO совпадает с AL.

Заметим теперь, что ONTD, с другой стороны, если ALBC=L, то ON - средняя линяя LTD, а значит ON=12TD=ID, значит OIDN - параллелограмм (а именно, прямоугольник) OIBC

Пусть α=LAE=OEH=DHE=DEA, а C=2βEAC=902β=BAO (по Лемме 4)

Из этого следует, что EOI=DOI=90ODI=90α

Заметим, что DEC=DEA+AEC=α+1802(902β)α2β=α+2βα=2β, а т.к DF - медиана в прямоугольном IDC, DFC=1802FCD=1802β, то DFCE - вписан, откуда, EFC=EDC=DOI=90α=EOF, откуда и следует требуемое.

  0
2 года 2 месяца назад #

Первое правило мат клуба

пред. Правка 2   0
2 года 2 месяца назад #

Не говорить про Лемму 2

пред. Правка 2   0
2 года 1 месяца назад #

  0
2 года 2 месяца назад #

мопсичек зверь, удивился когда увидел твоё фио в результатах 11 класса с отрывом в 14 баллов

  0
2 года 2 месяца назад #

братан, говорить что я взял 15 баллов это такой стыд

  0
2 года 2 месяца назад #

Я ставлю этому решению столько же баллов, сколько у меня на Респе 2022.