Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ тізбегінің әр мүшесі $\left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$ аралығында орналасқан және келесі теңсіздікті қанағаттандырады: $tg{{x}_{1}}+tg{{x}_{2}}+\ldots +tg{{x}_{n}}\le n$. Онда $\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}\cdot \ldots \cdot \sin {{x}_{n}}\le {{2}^{-\frac{n}{2}}}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$tgx=\frac{sinx}{cosx}\ge \frac{2sin^2x}{sin2x}\ge 2sin^2x$

Просто продолжу $tgx \geq 2sin^2x$

Учитывая вышеописанное неравенство и неравенство о средних получаем

$n(sinx_{1} \cdot sinx_{2} \cdot \dots \cdot sinx_{n})^{\frac{2}{n}} \leq sin^2x_{1} + sin^2x_{2} ...+sin^2x_{n} \leq \dfrac{n}{2}$

откуда $P \leq 2^{-\frac{n}{2}}$