Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, III тур дистанционного этапа

Графики функций $y = k_1x+b_1,$ $y = k_2x+b_2,$ $y = k_3x+b_3$ являются продолжениями сторон равностороннего треугольника. Докажите, что среди чисел $k_1,$ $k_2,$ $k_3$ есть такое, которое не меньше 1/2. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Проведем через начало координат параллельные сторонам нашего равностороннего треугольника прямые $y = k_1x,$ $y = k_2x,$ $y = k_3x.$ Они поделят полный угол на углы по $60^\circ,$ и потому хотя бы одна из них проходит через первую четверть. Если она образует с осью абсцисс угол, не меньший $30^\circ,$ то ее коэффициент $k_i$ не меньше 1/2. В противном случае следующая против часовой стрелки прямая тоже проходит через первую четверть и образует с осью абсцисс угол, не меньший $30^\circ$ (и даже $60^\circ$) так что подойдет она.