Районная олимпиада по физике. 2020-2021 учебный год, 11 класс, теоретический тур

Круглый конус с углом раствора $\alpha = \pi/6$ и радиусом основания $R=5$ см катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рисунке ниже. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке $O$ которая находится на одном уровне с точкой $C$ — центром основания конуса. Скорость точки $C$ равна $v=10$ см/с. Найдите модули угловой скорости и углового ускорения конуса. (5 баллов)

Комментарий/решение

Ответ: угловая скорость: $\omega = 2.071[s^{-1}]$

угловое ускорение : $\varepsilon=1.072[s^{-2}] $

Рисунок вставлю чуть позже

*************Расчет угловой скорости*************

1)Векторное выражение для угловых скоростей:

$$\overrightarrow{\omega} = \overrightarrow{\omega_e} + \overrightarrow{\omega_r}$$

$\omega_e-$ переносная угловая скорость конуса

$\omega_r-$ относительная угловая скорость конуса

$\omega-$ результирующая угловая скорость конуса, ее мы и ищем

2)Вычислим $\omega_e$. Это угловая скорость вращения оси $OC$ вокруг точки $O$, откуда

$$\omega_e = \dfrac{v}{OC}$$

3)Вычислим $OC$

$$OC = \dfrac{R}{\tan\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{5[cm]}{0.2679} = 18.66[cm]$$

4) Из [3]:

$$\omega_e = \dfrac{v}{OC} = \dfrac{10[cm/s]}{18.66[cm]} = 0.536[s^{-1}]$$

5)Из треугольника угловых скоростей:

$$\omega = \dfrac{\omega_e}{\sin\dfrac{\pi}{12}} = \dfrac{0.536[s^{-1}]}{0.2588} =2.071[s^{-1}]$$

*************Расчет углового ускорения*************

1)Векторное выражение для угловых ускорений:

$$\overrightarrow{\varepsilon} = \overrightarrow{\varepsilon_{\parallel}} + \overrightarrow{\varepsilon_{\bot}} $$

$\varepsilon_{\parallel}-$ компонента углового ускорения в плоскости рисунка

$\varepsilon_{\bot}-$ компонента углового ускорения, перпендикулярная плоскости рисунка

2)Рассчитаем $\varepsilon_{\parallel},\varepsilon_{\bot}$

$$\omega = const\rightarrow\varepsilon_{\parallel} = \dfrac{d\omega}{dt}=0$$

$$\varepsilon_{\bot} =\left|\overrightarrow{\omega}\times\overrightarrow{\omega_e}\right|=\omega\cdot\omega_e\cdot\sin\dfrac{5\pi}{12}$$

$$\varepsilon_{\bot} = 2.071[s^{-1}]\cdot0.536[s^-1]\cdot0.966 = 1.072[s^{-2}] $$

Откуда $\varepsilon=\varepsilon_{\bot}=1.072[s^{-2}] $