Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып

Пусть $ABCD$ выпуклый четырехугольник с $AB$ не параллельным $CD$, и пусть $X$ точка внутри $ABCD$ такая, что $\angle ADX=\angle BCX < 90^\circ$ и $\angle DAX=\angle CBX < 90^\circ$. Если $Y$ точка пересечения серединных перпендикуляров $AB$ и $CD$, то докажите, что $\angle AYB=2\angle ADX$.

Комментарий/решение

Построим две концентрические окружности с центром в точке $O$ и радиусами $(\omega_{R}, \omega_{r}) , R>r$ пусть $A,B,J,I$ точки на $ \omega_{R}$ и пусть $H,C \in BJ \cap \omega_{r}, \ G,D \in \ AI \cap \ \omega_{r} $, проведем $ED || BI$ и $CF || AJ$ где $E \in BJ, \ F \in AI$ пусть $X \in ED \cap CF$

Лемма: тогда треугольники $BXC , AXD$ подобны.

Доказательство: докажем что $\dfrac{BC}{BE} = \dfrac{AD}{AF}$ это и докажет утверждение, потому как $CXE,DXF$ подобны по построению.

1) Пусть $ T \in CD \cap BI$ и $K \in AC \cap BI$ тогда по теореме Фалеса и Теореме Менелая для $ACD$ откуда $\dfrac{BC}{BE} = \dfrac{CT}{TD} = \dfrac{AI}{DI} \cdot \dfrac{CK}{AK}$ аналогично

если $S \in AJ \cap BD$ тогда $ \dfrac{AD}{AF} = \dfrac{BJ}{CJ } \cdot \dfrac{DS}{BS}$

2) докажем что $ N = \dfrac{AI}{DI} \cdot \dfrac{CK}{AK} = \dfrac{BJ}{CJ } \cdot \dfrac{DS}{BS}$

так как $BH=CJ, \ AG=DI $ пусть $\angle ABD = a, \angle DBC = b, \angle GHD = d , \ \angle DHC = c, \angle BAC = t, \ \angle HGC = n$ тогда из $ABC$ получается

$\dfrac{CK}{AK} = \dfrac{BC}{AB} \cdot \dfrac{\sin(b)}{\sin(a)}$ и $ AI=2R \sin(a), \ GD=2r \sin(d)$ тогда $DI=R \sin(a)-r \sin(d)$ и $r=\dfrac{R \cos(a)}{\cos(d)} = \dfrac{R \cos(t)}{\cos(n)}$ (1) тогда $\dfrac{AI}{DI} = \dfrac{2 \sin(a)}{\sin(a) - \cos(a) \tan(d)} $

значит $N = \dfrac{2 \sin(b)}{\sin(a)-\cos(a) \tan(d)} \cdot \dfrac{BC}{AB}$ аналогично $N = \dfrac{2 \sin(b)}{\sin(t)-\cos(t) \tan(n)} \cdot \dfrac{AD}{AB}$ через правую часть, откуда

$$\dfrac{BC}{\sin(a)-\cos(a) \cdot \tan(d)} = \dfrac{AD}{\sin(t)-\cos(t) \tan(n)}$$

3) с другой стороны $AD = R(\sin(a)+\cos(a) \tan(d)), \ BC = R(\sin(t)+\cos(t) \tan(n))$

подставляя получается $ \sin^2(a) -\cos^2(a) \tan^2(d) = \sin^2(t)-\cos^2(t) \tan^2(n)$ преобразовывая $\cos^2(a)(1+\tan^2(d)) =\cos^2(t)(1+\tan^2(n))$ или $$\dfrac{\cos(a)}{\cos(d)} = \dfrac{\cos(t)}{\cos(n)}$$ это есть (1)

4) Из леммы получается $\angle CBX = \angle DAX$ и из построения $\angle ADX = \angle BCX$ тогда $O$ есть точка $Y$ так как $OC=OD, \ OB=OA$ откуда $\angle AYB = \angle AIB = \angle 2ADX$