Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Построим две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами (ωR,ωr),R>r пусть A,B,J,I точки на ωR и пусть H,C∈BJ∩ωr, G,D∈ AI∩ ωr, проведем ED||BI и CF||AJ где E∈BJ, F∈AI пусть X∈ED∩CF
Лемма: тогда треугольники BXC,AXD подобны.
Доказательство: докажем что BCBE=ADAF это и докажет утверждение, потому как CXE,DXF подобны по построению.
1) Пусть T∈CD∩BI и K∈AC∩BI тогда по теореме Фалеса и Теореме Менелая для ACD откуда BCBE=CTTD=AIDI⋅CKAK аналогично
если S∈AJ∩BD тогда ADAF=BJCJ⋅DSBS
2) докажем что N=AIDI⋅CKAK=BJCJ⋅DSBS
так как BH=CJ, AG=DI пусть ∠ABD=a,∠DBC=b,∠GHD=d, ∠DHC=c,∠BAC=t, ∠HGC=n тогда из ABC получается
CKAK=BCAB⋅sin(b)sin(a) и AI=2Rsin(a), GD=2rsin(d) тогда DI=Rsin(a)−rsin(d) и r=Rcos(a)cos(d)=Rcos(t)cos(n) (1) тогда AIDI=2sin(a)sin(a)−cos(a)tan(d)
значит N=2sin(b)sin(a)−cos(a)tan(d)⋅BCAB аналогично N=2sin(b)sin(t)−cos(t)tan(n)⋅ADAB через правую часть, откуда
BCsin(a)−cos(a)⋅tan(d)=ADsin(t)−cos(t)tan(n)
3) с другой стороны AD=R(sin(a)+cos(a)tan(d)), BC=R(sin(t)+cos(t)tan(n))
подставляя получается sin2(a)−cos2(a)tan2(d)=sin2(t)−cos2(t)tan2(n) преобразовывая cos2(a)(1+tan2(d))=cos2(t)(1+tan2(n)) или cos(a)cos(d)=cos(t)cos(n) это есть (1)
4) Из леммы получается ∠CBX=∠DAX и из построения ∠ADX=∠BCX тогда O есть точка Y так как OC=OD, OB=OA откуда ∠AYB=∠AIB=∠2ADX
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.