Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып


Пусть ABCD выпуклый четырехугольник с AB не параллельным CD, и пусть X точка внутри ABCD такая, что ADX=BCX<90 и DAX=CBX<90. Если Y точка пересечения серединных перпендикуляров AB и CD, то докажите, что AYB=2ADX.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   6
3 года 8 месяца назад #

Построим две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами (ωR,ωr),R>r пусть A,B,J,I точки на ωR и пусть H,CBJωr, G,D AI ωr, проведем ED||BI и CF||AJ где EBJ, FAI пусть XEDCF

Лемма: тогда треугольники BXC,AXD подобны.

Доказательство: докажем что BCBE=ADAF это и докажет утверждение, потому как CXE,DXF подобны по построению.

1) Пусть TCDBI и KACBI тогда по теореме Фалеса и Теореме Менелая для ACD откуда BCBE=CTTD=AIDICKAK аналогично

если SAJBD тогда ADAF=BJCJDSBS

2) докажем что N=AIDICKAK=BJCJDSBS

так как BH=CJ, AG=DI пусть ABD=a,DBC=b,GHD=d, DHC=c,BAC=t, HGC=n тогда из ABC получается

CKAK=BCABsin(b)sin(a) и AI=2Rsin(a), GD=2rsin(d) тогда DI=Rsin(a)rsin(d) и r=Rcos(a)cos(d)=Rcos(t)cos(n) (1) тогда AIDI=2sin(a)sin(a)cos(a)tan(d)

значит N=2sin(b)sin(a)cos(a)tan(d)BCAB аналогично N=2sin(b)sin(t)cos(t)tan(n)ADAB через правую часть, откуда

BCsin(a)cos(a)tan(d)=ADsin(t)cos(t)tan(n)

3) с другой стороны AD=R(sin(a)+cos(a)tan(d)), BC=R(sin(t)+cos(t)tan(n))

подставляя получается sin2(a)cos2(a)tan2(d)=sin2(t)cos2(t)tan2(n) преобразовывая cos2(a)(1+tan2(d))=cos2(t)(1+tan2(n)) или cos(a)cos(d)=cos(t)cos(n) это есть (1)

4) Из леммы получается CBX=DAX и из построения ADX=BCX тогда O есть точка Y так как OC=OD, OB=OA откуда AYB=AIB=2ADX