Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур регионального этапа

Сумма четырех целых чисел равна 0. Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на $-1$, равна удвоенному квадрату целого числа. ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть по кругу стоят (в указанном порядке) числа $a,$ $b,$ $c,$ $d.$ Тогда сумма четырех произведений, умноженная на $-1,$ равна $-a(b+d)-b(a+c)-c(b+d)-d(a+c) = -2(a+c)(b+d) = 2(a+c)^2,$ что и требовалось доказать. Последнее равенство здесь вытекает из того, что по условию $a+c = -(b+d).$