Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

$x,y,z$ нақты саңдары $x+y+z=0$ теңдеуін қанағаттаңдырады. Келесі теңсіздікті дәледдеңдер: $6{{\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)}^{2}}\le {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3}}$.

Комментарий/решение

В неравенство подставим вместо $z=-x-y$ ,тогда неравенство будет эквивалентна:

$27x^2y^2(x+y)^2\leq 4(x^2+xy+y^2)^3$

Но это неравенство доказывается с помощью перемножение этих неравенств:

$3xy\leq x^2+xy+y^2$ (2раза)

$3(x+y)^2 \leq 4(x^2+xy+y^2)$