Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

Шеңбер және оның бойында жататын $P$ және $Q$ нүктелері берілген. $M$ нүктесі $PQ$-дің ортасы. $AC$ кесіндісі $M$ нүктесі арқылы өтетіндей етіп шеңбердің бойынан $A$ және $C$ нүктелері таңдап алынған. Шеңбердің бойынан $ABCD$ трапеция болатындай етіп $B$ және $D$ нүктелері таңдап алынған, $AB$ және $CD$ түзулері $PQ$-ға параллель. $AD$ және $BC$ қиылысу нүктесі $X$, бастапқы A$A$ нүктесін таңдап алғанға байланысты емес екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Видимо в условий имелось в виду точки $B,D$. Так как $AM$ делит $PQ$ пополам , получим что и $BD$ так же пересекает $PQ$ в точке $M$ , из условия следует что $\Delta AMD , \Delta CMD$ равнобедренные , так как $AB || CD || PQ$ , значит $PB=AQ,PC=DQ , BC=AD$. Определим точку $X$ как в условий $AD \cap BC$, диагонали вышеописанных равнобедренных трапеций , лежат на прямой $MX$. Откуда делаем вывод , что все такие прямые $AD,BC$ при фиксированной прямой $PQ$ на $\omega$ пересекаются в $X$ .