3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур, 2019 г.

Пусть $[x,y]$ означает НОК чисел $x$ и $y$, а $[x,y,z]$ — НОК чисел $x,y,z$. Даны натуральные числа $a,b,c,d$. Обозначим $A=[a,b,c] \cdot [a,b,d] \cdot [a,c,d] \cdot [b,c,d]$ и $B=[a,b] \cdot [a,c] \cdot [a,d] \cdot [b,c] \cdot [b,d] \cdot [c,d]$. Докажите неравенство $A^6 \ge B^4$.

Комментарий/решение

Сократим степени: $A^6 \ge B^4 \rightarrow A^3 \ge B^2$

Воспользуемся свойством НОК $[a,b,c]\ge[a,b];[b,c];[a,c]$

$$A^3=[a,b,c]^3 \cdot [a,b,d]^3 \cdot [a,c,d]^3 \cdot [b,c,d]^3$$

$$B^2=[a,b]^2 \cdot [a,c]^2 \cdot [a,d]^2 \cdot [b,c]^2 \cdot [b,d]^2 \cdot [c,d]^2$$

$$[a,b,c]^3\ge[a,b]\cdot[b,c]\cdot[a,c]$$

И так с каждым множителем $A^3$

$\rightarrow A^3 \ge B^2$

Доказано