3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур, 2019 г.

Асан и Хасан под наблюдением жюри играют в следующую игру. Жюри выбирает натуральное число $n$, имеющее 100 делителей, и выписывает на доске все эти делители, затем на бумаге рисует две горизонтальные таблицы размеров $50 \times 1$, и соответствующие клетки соединяет отрезком.
    Каждый игрок своим ходом должен выбрать какой-то делитель с доски, переписать его в одну свободную клетку бумаги, и стереть этот делитель с доски. Когда все клетки таблицы заполнены, игра заканчивается.
    После этого жюри на каждом отрезке пишет произведение чисел записанных в клетках, соединяющих эти отрезки, а затем все полученные произведения складывает.
    Если полученная сумма делится на $n$, то первый игрок проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре, если игру начинает Асан, а далее ходят по очереди?

Комментарий/решение

Заметим $d_i*d_{100-i}=n$.

Выигрывает второй игрок, т.к когда первый возьмёт какой-то $d_i$, то второй может дополнить столбец делителем $d_{100-i}$, и сумма на каждом отрезке будет n.