3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2018 г.

На графике обратной пропорциональной зависимости $y=\frac{k}{x}$ $\left( k>0 \right)$ в первой четверти взяты три точки $A,\,B,\,C$ так, что площади трех образовавшихся прямоугольников равны $10\,\text{см}^2,$ $20\,\text{см}^2,$ $30\,\text{см}^2$ (см. рисунок ниже).
   а) Определите площади прямоугольников $R$ и $S$.
   б) Определите значение $k$, если известно, что площадь $T=40\,\text{см}^2$.

Комментарий/решение

Рассмотрим площади прямоугольников имеющие вершины в начале координат и в точках A, B, C. Их площадь будет равна произведению координат точек A, B, C соответственно, что будет равно k, так как A(x1, k/x1) B(x2, k/x2), C(x3, k/x3). В таком случаи выходит равенство 20 + R + T = T + R + S + 10 = T + S + 30 = k. Не сложно посчитать, что R = 20, S = 10. Для пункта б подставляем T R S в равенство и получаем, что k = 80