3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2018 г.

Имеются числа 2, 0, 1, 8. За один ход разрешается, выбрав произвольно какие-то два имеющиеся числа $x$ и $y$, заменить пару чисел $(x, y)$ на одну из пар $(x + 1, y + 1),$ $(x + 1, y - 1),$ $(x-1 ,y + 1),$ $(x - 1, y - 1).$ Можно ли за конечное число ходов из исходного набора чисел получить 4 одинаковых числа?

Комментарий/решение

Рассмотрим число 1 оно нечётное а 2 ,0 ,8 четное и при прибавлении 1 у них всех не совпадет четность. Т.к четность будет разной(т.к у 1 другая четность

Допустим это возможно

2+0+1+8=11 11 является нечетным числом

4 одинаковых числа=4а

4а делится на 2

при x+1 y+1 сумма чисел увеличивается на 2

x+1 y-1 сумма чисел не изменяется

при x-1 y-1 сумма чисел уменьшается на 2

в начале у нас нечетное число мы прибавляем или отнимаем четные значения и получаем

четную сумму что является противоречием