Processing math: 100%

Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 1-ші лига, 7-8 сыныптар


Суретте ABCD және PQRD тіктөртбұрыштарының аудандары тең, ал AD және DR түзулері беттеседі. N, M және T нүктелері сәйкесінше QR, PC және AB кесінділерінің орталары. N, M және T нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
1 года 5 месяца назад #

продолжим CR за точку R до пересечения с PQ точка будет называться W, AP до пересечения с BC точка будет S.

поскольку AB*BC=PD*PQ то PD/CD=AD/RD, откуда следует подобие треугольников, значит AP||CR. По теореме о замечательной точке трапеции M, N, W лежат на одной прямой, аналогично с M, T, S. Итак, поскольку AP||RC, BC||PQ то WPSC

параллелограмм. И теперь поскольку PM=MC, то W, S, M на одной прямой откуда следует

T, M, N на одной прямой #.

  0
8 месяца 22 дней назад #

Введем декартовы координаты с центром в B и осями oX и oY в направлениях BC и BA соответственно. Из условия: AyCx=(PyDy)(RxDx)=PyRx+DyDxDyRxPyDx.

Требуется показать, что CxPyAy?=RxDxRyAyCx=RyCx?=RxPy+AyCxDxPyRxAy.

AyCx=DxDy,RxAy=RxDy,

поэтому задача решена.