6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, первая лига, 7-8 классы

Два прямоугольника $ABCD$ и $PQRD$ одинаковой площади, соответствующие стороны которых параллельны, расположены, как показано на рисунке. Точки $N$, $M$ и $T$ — середины отрезков $QR$, $PC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что точки $N$, $M$ и $T$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

продолжим CR за точку R до пересечения с PQ точка будет называться W, AP до пересечения с BC точка будет S.

поскольку AB*BC=PD*PQ то PD/CD=AD/RD, откуда следует подобие треугольников, значит AP||CR. По теореме о замечательной точке трапеции M, N, W лежат на одной прямой, аналогично с M, T, S. Итак, поскольку AP||RC, BC||PQ то WPSC

параллелограмм. И теперь поскольку PM=MC, то W, S, M на одной прямой откуда следует

T, M, N на одной прямой #.

Введем декартовы координаты с центром в $B$ и осями $oX$ и $oY$ в направлениях $BC$ и $BA$ соответственно. Из условия: $$A_yC_x=(P_y-D_y)(R_x-D_x)=P_yR_x+D_yD_x-D_yR_x-P_yD_x.$$

Требуется показать, что $$\frac{C_x}{P_y-A_y}\stackrel{?}{=} \frac{R_x-D_x}{R_y}\Leftrightarrow A_yC_x=R_yC_x\stackrel{?}{=} R_xP_y+A_yC_x-D_xP_y-R_xA_y.$$

$$A_yC_x=D_xD_y,R_xA_y=R_xD_y,$$

поэтому задача решена.