6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, первая лига, 7-8 классы
Два прямоугольника ABCD и PQRD одинаковой площади, соответствующие стороны которых параллельны, расположены, как показано на рисунке. Точки N, M и T — середины отрезков QR, PC и AB соответственно. Докажите, что точки N, M и T лежат на одной прямой.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
продолжим CR за точку R до пересечения с PQ точка будет называться W, AP до пересечения с BC точка будет S.
поскольку AB*BC=PD*PQ то PD/CD=AD/RD, откуда следует подобие треугольников, значит AP||CR. По теореме о замечательной точке трапеции M, N, W лежат на одной прямой, аналогично с M, T, S. Итак, поскольку AP||RC, BC||PQ то WPSC
параллелограмм. И теперь поскольку PM=MC, то W, S, M на одной прямой откуда следует
T, M, N на одной прямой #.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.