Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, первая лига, 7-8 классы


Два прямоугольника ABCD и PQRD одинаковой площади, соответствующие стороны которых параллельны, расположены, как показано на рисунке. Точки N, M и T — середины отрезков QR, PC и AB соответственно. Докажите, что точки N, M и T лежат на одной прямой.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
1 года 4 месяца назад #

продолжим CR за точку R до пересечения с PQ точка будет называться W, AP до пересечения с BC точка будет S.

поскольку AB*BC=PD*PQ то PD/CD=AD/RD, откуда следует подобие треугольников, значит AP||CR. По теореме о замечательной точке трапеции M, N, W лежат на одной прямой, аналогично с M, T, S. Итак, поскольку AP||RC, BC||PQ то WPSC

параллелограмм. И теперь поскольку PM=MC, то W, S, M на одной прямой откуда следует

T, M, N на одной прямой #.

  0
7 месяца 13 дней назад #

Введем декартовы координаты с центром в B и осями oX и oY в направлениях BC и BA соответственно. Из условия: AyCx=(PyDy)(RxDx)=PyRx+DyDxDyRxPyDx.

Требуется показать, что CxPyAy?=RxDxRyAyCx=RyCx?=RxPy+AyCxDxPyRxAy.

AyCx=DxDy,RxAy=RxDy,

поэтому задача решена.