Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып
Кез келген оң нақты a және b сандары үшін
3√ab+3√ba≤3√2(a+b)(1a+1b) теңсіздігі орындалатынын дәледдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
3√ab=x и 3√ba=y ,тогда неравенство запишется как 2(x3+y3)+4≥(x+y)3 , если учесть что числа a,b положительные и xy=1 , либо что тоже самое (x+y)3−6(x+y)+4≥0 , (t−2)(t2−2t+2)≥0 если x+y=t откуда t≥2 , которое в свою очередь верно , так как из неравенства о средних 3√ab+3√ba≥2⋅√3√ab⋅3√ba=2
Также мы можем так доказать.
Умножая две стороны на куб, получаем такую неравенству:
3(3√a/b+3√b/a)≤(a+b)2+2abab
если заменить a на x3, b на y3, получим такое неравенство:
3(x/y+y/x)≤(x3+y3)2+2x3y3x3y3
в итоге получим
3x4y2+3x2y4≤x6+2x3y3+y6+2x3y3
Используя средно-арифметическую неравенство
x3y3+x6+x3y3≥3x4y2
x3y3+y6+x3y3≥3x2y4
Суммируя два неравенств, получим данное.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.