Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып


Кез келген оң нақты a және b сандары үшін 3ab+3ba32(a+b)(1a+1b) теңсіздігі орындалатынын дәледдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2 | Модератормен тексерілді
8 года 7 месяца назад #

3ab=x и 3ba=y ,тогда неравенство запишется как 2(x3+y3)+4(x+y)3 , если учесть что числа a,b положительные и xy=1 , либо что тоже самое (x+y)36(x+y)+40 , (t2)(t22t+2)0 если x+y=t откуда t2 , которое в свою очередь верно , так как из неравенства о средних 3ab+3ba23ab3ba=2

  0
5 года 11 месяца назад #

Также мы можем так доказать.

Умножая две стороны на куб, получаем такую неравенству:

3(3a/b+3b/a)(a+b)2+2abab

если заменить a на x3, b на y3, получим такое неравенство:

3(x/y+y/x)(x3+y3)2+2x3y3x3y3

в итоге получим

3x4y2+3x2y4x6+2x3y3+y6+2x3y3

Используя средно-арифметическую неравенство

x3y3+x6+x3y33x4y2

x3y3+y6+x3y33x2y4

Суммируя два неравенств, получим данное.

  1
11 дней 16 часов назад #

ab+33ab+33ba+ba4+2ab+2ba 1+1+ab+1+1+ba33ab+33ba