Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2019 год
Комментарий/решение:
Ответ: нет
Выберем модуль 5. Теперь по время замены числа на среднее арифметическое, мы будем заменять деление на 2,3,4 на умножение по модулю 5. Например 3^{-1} \equiv 2 \pmod{5}. Тогда если в конце должна получиться доска из равных цифр, то во всех клетках должны стоять равные остатки по модулю 5.
Лемма 1. Есть доска 2 \cdot 3 в клетках которой записаны неодинаковые остатки по модулю 5, такая что при любой замене она остается тождественной себе.
| 3 | 1 | 3 |
| 0 | 2 | 0 |
То, что эта доска подходит проверяется простой заменой числа в каждой клетке.
Лемма 2. Если существует доска n \cdot m которая при любой замене переходит сама в себя, то существует доска nk \cdot ms которая при любой замене переходит сама в себя.
Чтобы добиться этого, будем преобразовывать доску n \cdot m. Мы будем ее увеличивать путем симметричного отображения через стороны доски. Например
|3|1|3| \rightarrow |3|1|3||3|1|3|
|0|2|0| \rightarrow |0|2|0||0|2|0|
Покажем, что у новой доски после замены число не изменяется по модулю 5.
Случай 1. Если клетка имела 4 соседа, она продолжит иметь тех же 4 соседей.
Случай 2. Если клетка с числом a имела трех соседей b, c, d, то по предположению a^{-1} \equiv 3^{-1}(b+c+d) \equiv 2(b+c+d) \pmod{5}. После преобразования, клетка будет иметь соседей a, b, c, d. То перейдет сама в себя: 4^{-1}(a+b+c+d) \equiv 4(a+b+c+d) \equiv 4a+2a \equiv a \pmod{5}
Случай 3. Если клетка с числом a имела двух соседей b, c, то по предположению a^{-1} \equiv 2^{-1}(b+c) \equiv 3(b+c) \pmod{5}. Если после преобразования, клетка будет иметь соседей a, b, c. То перейдет сама в себя: 3^{-1}(a+b+c) \equiv 2(a+b+c) \equiv 8(b+c) \equiv a \pmod{5}
Если после преобразования, клетка будет иметь соседей a, b, c, a. То перейдет сама в себя: 4^{-1}(2a+b+c) \equiv 4(2a+b+c) \equiv 28(b+c) \equiv a \pmod{5}
Значит доска nk \cdot ms после замены переходит сама в себя по модулю 5.
Возвращаясь к задаче. Так как 2 \, | \, 2018, 3 \, | \, 2019, то по лемме 2 если преобразовать доску из леммы 1 в доску 2018 \cdot 2019 то в ней никогда все числа не будут давать равные остатки, что означает что в ней никогда все числа не будут равны после конечного числа шагов.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.