Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Докажите неравенство $(1+a_1)(1+a_2) \dots (1+a_n)\leq 1+s+\frac{s^2}{2!}+ \dots +\frac{s^n}{n!},$ где $a_i>0$, $i=1$, $2$, $\dots$, $n$ и $s=a_1+a_2+ \dots +a_n$.

Комментарий/решение

$$\sqrt[n]{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)}\leq \frac{1+a_1+1+a_2+...+1+a_n}{n}=$$ $$=\frac{\underbrace{a_1+a_2+...a_n}_S+n}{n}=\frac{S}{n}+1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)\leq \left(\frac{S}{n}+1\right)^n=$$

$$=1+\sum \limits_{i=1}^{n}{{C_n}^i \left(\frac{S}{n}\right)^i}\leq 1+\sum \limits_{i=1}^{n}{\left(\frac{S}{n}\right)^i}$$