Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 8 класс

Докажите, что число $(1 + \sqrt 2)^{2018}$ представляется в виде $a + b \sqrt 2,$ где $a$ и $b$ — взаимно простые целые числа.

Комментарий/решение

Докажем, что для всех четных n (положительных), число $(1+\sqrt{2})^n$ представляется в виде $m+z\sqrt{2}$, где m и z - взаимнопростые

База индукции: $$(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$$

(3,2 - взаимнопростые)

Шаг индукции: Предположим, что для какого то k, число $$(1+\sqrt{2})^k=m+z\sqrt{2}$$

(m,z - взаимнопростые)

Тогда для k+2:

$$(1+\sqrt{2})^k(3+2\sqrt{2})=(m+z\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=(3m+4z)+(3z+2m)\sqrt{2}$$

И так как $НОД(m,z)=1$, то по алгоритму Евклида, $НОД(3m+4z,3z+2m)=1$, а значит идукция доказана

Для восьмиклассников, знакомых с биномом Ньютона. Бином Ньютона - формула, позволяющая без непосредственного перемножения раскрывать скобки вида $(a+b)^n$. Сама формула: $(a+b)^n=C_{0}^{n}\times b^n+C_{1}^{n-1}\times b^{n-1}a+...+C_{n}^{0}\times a^n$ . Символы $C_{n}^{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$- ,биномиальные коэфициенты , они целочисленые. Каждое слагаемое либо целое (в случае , если корень из двух в чётной степени), или же произведение целого числа и $\sqrt {2}$. Если сгруппировать слагаемые, получим $a+b\sqrt {2}$

Надо еще доказать, что $a$ и $b$ взаимно простые.

да, в моем решении это сделать затруднительно. Когда решал не заметил фразы "взаимно простые $a$ и $b$ "