Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2018-2019 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

$n^7+n^6+n^5+1$ санының дәл үш натурал бөлгіштері болатындай, барлық натурал $n$ сандарын табыңыздар. ( И. Рубанов, О. Нечаева )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 1.
Решение. При $n = 1$ $n^7+n^6+n^5+1 = 4.$ У числа 4 ровно три делителя: 1, 2, 4. Заметим далее, что $n^7+n^6+n^5+1 = (n^7+n^5)+(n^6+1) = n^5(n^2+1)+(n^2+1)(n^4-n^2+1) = (n^2+1)(n^5+n^4-n^2+1) = (n^2+1)(n+1)(n^4-n+1).$ При $n > 1$ выполнены неравенства $n^2+1 > n+1 > 1,$ и у числа $(n^2+1)(n+1)(n^4-n+1)$ есть по крайней мере четыре различных делителя: 1, $n+1,$ $n^2+1$ и $(n^2+1)(n+1).$