Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2017 г.


Суммарный возраст десяти учеников, участвующих на олимпиаде, равен 130 годам. Докажите, что существует четверка учеников, сумма возрастов которых будет не меньше 51 года. Считайте, что возраст каждого ученика равен целому числу лет. (7 баллов)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   2
3 года 2 месяца назад #

Пусть a1,a2,...a10 - возрасты учеников, a1+a2+...+a10=130.

От противного, пусть такой четверки не найдется, тогда a1+a2+a3+a450, a5+a6+a7+a850, a9+a10130100=30, аналогично a1+a230, a1+a2+a9+a1060>51, противоречие.

P.S. Задача нестрогая, надо было вместо 51 взять 52 в условии

  1
2 года 11 месяца назад #

Альтернативное решение:

Найдем среднее арифметическое: 130/10=13, в среднем каждому ребенку будет, а это значит, если кому-то будет меньше 13, то кому то будет больше 13, на столько же, на сколько кому-то меньше 13. Значит минимальным значением возрастов четырех участников будет 52, так как при уменьшении чьего-то возраста то сумма каких-либо четырех детей будет больше.

  1
1 года 9 месяца назад #

Докажем от противного.

a1,a2,.....,a10 возрасты учеников.

Предположим, сумма возрастов любой четверки учеников50

Тогда, количество таких четверок равна C410, а количество встречавшихся элементов a_1 во всех четверках равна C39

Отсюда следует,

C39(a1+a2+.....+a10)C41050

168(a1+a2+.....+a10)42050

a1+a2+.....+a10125

противоречие, так как сумма возрастов равна 130

  2
1 года 9 месяца назад #

Решение: Без ограничения общеста, по методу Дирихле находим наилучший вариант, когда возраст всех будет равен 13-ти (130:10=13). Тогда просто выбираем четверых любых четверых учеников, и сумма их возрастов будет равняться 52. А 52>51, что и требовалось доказать.

  0
11 месяца 4 дней назад #

Альтернативное решение:

Предположим, что такая четверка не найдется. Пусть у нас есть 10 учеников сумма возрастов которых 130, пусть туда же войдут ещё 10 таких же учеников. Тогда их сумма возрастов станет 260. Теперь мы сможем разбить людей на четверки. Таких четвёрок 5. В каждой возраст не больше 50 => 505=250<260. Противоречие.