2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2017 г.

Ғажайып елге өту үшін тоғыз қақпадан өту керек. Егер ақшасы бар адам бірінші қақпадан өтсе, онда оның ақша саны $10\%$-ға ұлғаяды; егер екіншіден өтсе, $20\%$-ға ұлғаяды; $\ldots;$ егер тоғызыншы қақпадан өтсе, $90\%$-ға ұлғаяды. Ғажайып елге аттанған саяхатшыда бірінші қақпадан өтер алдында бүтін санмен өлшенетін бірнеше теңгесі болған, және ғажайып елге де бүтін санмен өлшенетін теңге санымен кірген. Саяхатшыда, бірінші қақпа өтер алдында, 777777 теңгеден аз ақша болуы мүмкін бе? (5 ұпай)

Комментарий/решение

Пусть изначально у него $x$ тенге, а в конце - $y$, причем $x,y \in Z$. По условию

$$x \cdot 1,1\cdot1,2 \cdot ... \cdot 1,9=y,$$

$$x \cdot \dfrac{11}{10} \cdot \dfrac{12}{10} \cdot \dfrac{13}{10} \cdot \dfrac{14}{10} \cdot \dfrac{15}{10} \cdot \dfrac{16}{10} \cdot \dfrac{17}{10} \cdot \dfrac{18}{10} \cdot \dfrac{19}{10}=y,$$ максимально сокращаем дроби $\dfrac{k}{10}$, что $x \cdot \dfrac{a}{b}=y$, где $(a,b)=1$. Нетрудно убедиться, что $b=5^7 \cdot 10=781 250$, но $a$ не делится на $b$, $\Rightarrow x ⋮ b, \Rightarrow x \geq b=781 250$

Ответ: нет

Такого не могло быть, так как перемножим все коэффиценты после входа во все

ворота 1.1*1.2*1.3*1.4*1.5*1.6*1.7*1.8*1.9=33,52212864 Получилось дробное число, но так как по условию дано, то что путешественник зашел и вышел с целым количеством денег. Нам необходимо найти число, которое после перемножения на 33,52212864 осталось целым, наименьшим числом будет 100000000, так как после перемножения на 33,52212864 получится число 3352212864.

100000000>777777