2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2017 г.

Чтобы попасть в чудо страну, нужно пройти через девять ворот. Если человек, имеющий какое-то количество денег, пройдет через первые ворота, то количество его денег увеличится на $10\%,$ если пройдет через вторые – то на $20\%$, $\ldots,$ если через девятые – то на $90\%.$ Известно, что путешественник, имеющий ненулевое количество денег, измеряющееся в целых числах, пройдя через все эти ворота вошел в страну также с целым количеством денег. Могло ли оказаться так, что в начале (перед тем как пройти первые ворота), у него было не более 777777 денег? (5 баллов)

Комментарий/решение

Пусть изначально у него $x$ тенге, а в конце - $y$, причем $x,y \in Z$. По условию

$$x \cdot 1,1\cdot1,2 \cdot ... \cdot 1,9=y,$$

$$x \cdot \dfrac{11}{10} \cdot \dfrac{12}{10} \cdot \dfrac{13}{10} \cdot \dfrac{14}{10} \cdot \dfrac{15}{10} \cdot \dfrac{16}{10} \cdot \dfrac{17}{10} \cdot \dfrac{18}{10} \cdot \dfrac{19}{10}=y,$$ максимально сокращаем дроби $\dfrac{k}{10}$, что $x \cdot \dfrac{a}{b}=y$, где $(a,b)=1$. Нетрудно убедиться, что $b=5^7 \cdot 10=781 250$, но $a$ не делится на $b$, $\Rightarrow x ⋮ b, \Rightarrow x \geq b=781 250$

Ответ: нет

Такого не могло быть, так как перемножим все коэффиценты после входа во все

ворота 1.1*1.2*1.3*1.4*1.5*1.6*1.7*1.8*1.9=33,52212864 Получилось дробное число, но так как по условию дано, то что путешественник зашел и вышел с целым количеством денег. Нам необходимо найти число, которое после перемножения на 33,52212864 осталось целым, наименьшим числом будет 100000000, так как после перемножения на 33,52212864 получится число 3352212864.

100000000>777777

НЕТ. Так как, если какое-то число сначало увеличивается на 10%, потом на 20% и т.д. То есть мы умнажаем на 1.1 на 1.2 на 1.3 и тд

Мы можем сократить эти дроби до 11/10 6/5 13/10 7/5 3/2 8/5 17/10 9/5 19/10 . Теперь мы должны перемножить все знаменатели: 25 в 3 степени и 5 и 10. И того выйдет 781750- то что меньше чем 777777.

ОТВЕТ: НЕТ, нельзя