2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2017 г.

Дүкенде сөйлей алатын 16 тотықұс сатылады. Оның әрқайсысы әрқашан да өтірік айтатын өтірікші, немесе әрқашан да шыңдықты айтатын шыншыл. Әр тотықұс бөлек қақпада отыр, ал қақпалар өлшемі 4х4 квадрат пішінді подиумда отыр. Дүкенге сатып алушы Ерболат кірген кезде, тотықұстардың барлығы хормен “Менің көршілерімнің ішінде шыншылдар мен өтірікшілердің саны тең!” деп айтты (егер тотықұстар отырған қақпалар қабырға бойынша көрші тұрған шаршыларда орналасса, онда тотықұстар көрші болып саналады).
    а) Тоты құстардың қаншасы өтірікші болуы мүмкін? (Барлық мүмкін жауапты табыңыз) (3ұпай)
    б) Егер тоты құстардың барлығы өтірікші болмаса, онда Ерболат сатып алған тоты құстардың ішінде міндетті түрде кемінде бір шыншыл құс болатындай, ең кемінде қанша құс ала алады? (2 ұпай)

Комментарий/решение

а) Так как каждый произнес фразу “Среди моих соседей правдивых и лжецов поровну!”, в подиуме $4 х 4$ все попугаи, находившиеся в боковых клетках подиума, не считая угловые - лжецы (потому что у них количество соседей - нечетное), а раз угловые клетки окружены лжецами, то в них не могли быть правдивые попугаи, ибо у них все соседи - лжецы. Значит, что у нас остается квадрат $2$ х $2$, в котором есть попугаи неизвестного типа.

1) Допустим, что в какой-то клетке есть правдивый попугай, тогда его соседи в квадрате $2$ х $2$ тоже правдивые, $\Rightarrow$ $2$ x $2$ заполнен правдивыми попугаями, тогда лжецов $12$

2) Их нет, тогда лжецов $16$

b) Если не все попугаи лжецы, то возможен только первый случай, тогда ответ $1$ - Ерболат просто покупает попугая, находящегося в центральном квадрате $2$ х $2$