2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2017 г.

В магазине продаются 16 говорящих попугаев. Каждый из них либо лжец (всегда врет), либо правдивый (всегда говорит правду). Каждый попугай находится в отдельной клетке. Все клетки одинаковы и расположены на подиуме в виде квадрата $4\times 4.$ Когда в магазин зашел покупатель Ерболат, все попугаи хором произнесли: “Среди моих соседей правдивых и лжецов поровну!”. (Соседними считаются попугаи, сидящие в клетках, соседних по стороне)
    а) Сколько лжецов могло быть среди этих попугаев? (Укажите все возможные количества) (3 балла)
    б) Если известно, что не все попугаи лжецы, то какое наименьшее количество попугаев может купить Ерболат так, чтобы среди них обязательно нашелся хотя бы один правдивый попугай? (2 балла)

Комментарий/решение

а) Так как каждый произнес фразу “Среди моих соседей правдивых и лжецов поровну!”, в подиуме $4 х 4$ все попугаи, находившиеся в боковых клетках подиума, не считая угловые - лжецы (потому что у них количество соседей - нечетное), а раз угловые клетки окружены лжецами, то в них не могли быть правдивые попугаи, ибо у них все соседи - лжецы. Значит, что у нас остается квадрат $2$ х $2$, в котором есть попугаи неизвестного типа.

1) Допустим, что в какой-то клетке есть правдивый попугай, тогда его соседи в квадрате $2$ х $2$ тоже правдивые, $\Rightarrow$ $2$ x $2$ заполнен правдивыми попугаями, тогда лжецов $12$

2) Их нет, тогда лжецов $16$

b) Если не все попугаи лжецы, то возможен только первый случай, тогда ответ $1$ - Ерболат просто покупает попугая, находящегося в центральном квадрате $2$ х $2$