2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур, 2017 г.

$x\cdot {{y}^{2}}={{2}^{2017}}$ теңдеуін қанағаттандыратын $\left( x;y \right)$ натурал сандарының қанша жұбы бар?

Комментарий/решение

1009

x*y^2=2^2017

2^2017*1^2=2^2017 - 1пара(жұп)- (2^2017;1)

2^2015*2^2=2^2015+2=2^2017 - 2 пара(жұп) =(2^2015;2)

2^2016 и 2^1 не будут х и у данного уравнения, так как в уравнении у имеет квадрат, а в данном случае у, то есть 2 имеет степень 1, а не квадрат. Выходит, что х числа, которые являются ответами данного уравнения имеют только нечётную

степень. Например, 2^2013*2^4 = 2^2017. Здесь х=2^2013, а у=4, ведь 4^2=2^4. Между 2^2017 и 2 есть 1009 чисел с нечётной степенью, так что ответ - 1009 натуральных пар х и у, которые удовлетворяют данное уравнение.

2^2016 мен 2^1 берілген теңдеудің х және у-і болмайды, себебі теңдеуде у-те квадрат бар, ал мына жағдайда у - те, яғни 2-де 1 дәреже, квадрат емес. Осыдан берілген теңдеудің х-тері тек тақ дәрежелі сандар болып табылады деген шығады. Мысалы, 2^2013*2^4 = 2^2017. Бұл жағдайда х= 2^2013, ал у=4, өйткені 4^2=2^4. 2^2017 мен 2 нің арасында тақ дәрежеге ие 1009 сан бар, сондықтан есептің жауабы - берілген теңдеуді қанағаттандыратын 1009 натурал сандардың жұбы бар