Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып

$X$ жиыны алты элементтен тұрады. ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}$ — әрқайсысы $X$ жиынының үш элементтен құралған ішкі жиындары болсын. Сонда ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}$ жиындарындағы барлық элементтер бірдей түсті боялмаған болатындай етіп, $X$ жиынын екі түске бояуға болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Каждое множество $A_{n}$ делит множество X на два равных по кол-ву членов подмножества. Мы также делим X два подмножества те красим только 3 элемента в один цвет. Видно что если $A_{n}$ и мы разделили X по разному то не все элементы множества $A_{n}$ будут одного цвета. Всего моржно разделить шесть элементов на две подгруппы где в каждой группе 3 элемента 10 способами т.к .

$\dfrac{6*5*4}{3*2*1*2}$=10

10>6 значит всегда есть как минимум 4 способа перекрасить элементы так чтобы они удволитворяли условию.