6-я Жаутыковская олимпиада (2010), теоретический тур

Реликтовое излучение и космические лучи (10 баллов)
Согласно современной космологии, наша Вселенная наполнена электромагнитным излучением, оставшимся после Большого взрыва. Это излучение называется реликтовым. С хорошей точностью реликтовое излучение однородно и изотропно в системе отсчета, свя-занной с нашей Галактикой, которую в дальнейшем будем считать лабораторной системой отсчета, а распределение по частотам интенсивности этого излучения совпадает со спектром абсолютно черного тела при температуре $T=2,7$ К. Работы по открытию и исследованию свойств реликтового излучения отмечены Нобелевскими премиями по физике в 1978 и 2006 годах.
Реликтовые фотоны чрезвычайно многочисленны и поэтому могут влиять на имеющееся в Галактике излучение другой природы - космические лучи (КЛ). Считается, что КЛ образуются при взрывах звезд. КЛ состоят в основном из протонов, их энергия может превышать на много порядков энергии, доступные на земных ускорителях. Механизм генерации КЛ сверхвысоких энергий не вполне ясен, однако экспериментально наблюдаемое распределение по энергии КЛ ограничено сверху величиной $E^{\max}_{p}=10^{21}$ $eV$. В данной задаче предполагается, что это ограничение обусловлено потерями энергии при взаимодействии протонов с реликтовым излучением. Протоны могут участвовать в комптоновском рассеянии $$p+\gamma \to p+\gamma, \quad (1)$$ и вызвать реакцию $$p + \gamma \to \bigtriangleup \to \pi^0 +p, \quad (2)$$ где $p$ — протон, $\gamma$ — реликтовый фотон, $\bigtriangleup$ — самый легкий по сравнению с нуклоном барион с массой покоя $m_{\bigtriangleup}=1,232\times 10^6$ $eV/c^2$, который быстро распадается на пимезон $\pi^0$ и протон $p$. ($\bigtriangleup$ — частица распадется также на $\pi^{+}$ — мезон и нейтрон. Нейтрон довольно быстро превращается в протон за счет $\beta$ -распада, поэтому явный учет этого канала реакции не имеет принципиального значения в данной задаче). За счет рождения $\bigtriangleup$ -частицы вероятность взаимодействия протона с -квантом резко возрастает.
Цель данной задачи — определить верхнюю границу наблюдаемого энергетического спектра КЛ, предполагая, что реакция (2) является основным механизмом потерь энергии КЛ, и сравнить потери энергии протоном в реакциях (1) и (2).
В следующих заданиях энергию измерять в электрон-вольтах $eV$, а импульсы — в $eV/c$, где $c$ — скорость света в вакууме. Масса покоя протона $m_p=938\times 10^6$ $eV/c^2$, масса покоя пимезона $m_{\pi}=140\times 10^6$ $eV/c^2$. Постоянная Больцмана $k=1,38\times 10^{-23}$ Дж$\cdot$ К$^{-1}$.

1. [0.5 балла] Оцените наиболее вероятную энергию $E_{\gamma}$ и соответствующий импульс $p_{\gamma}$ реликтовых фотонов, учитывая, что они соответствуют излучению черного тела при температуре $T=2,7$ К.

В следующих заданиях предполагайте, что начальный фотон в реакциях (1) и (2) имеет найденные Вами значения энергии и импульса.
2. [1 балл] Масса покоя частицы $m$ связана с полной релятивистской энергией $E$ и импульсом $\overline{p}$ этой частицы в произвольной инерциальной системе отсчета соотношением $E^2/c^2 - \overline{p}^2=m^2 c^2$. Здесь величина $mc^2$ не зависит от системы отсчета и является полной внутренней энергией частицы. Выразить полную внутреннюю энергию двух невзаимодействующих частиц с массами покоя $m_1$, $m_2$ (т.е. полную энергию в системе отсчета, в которой полный импульс физической системы равен нулю) через энергии $E_1$, $E_2$, и импульсы $\overline{p_1}^2$, $\overline{p_2}^2$ этих частиц в произвольной системе отсчета.

Для дальнейшего анализа может понадобиться релятивистский закон преобразования импульса и энергии частицы. При переходе из инерциальной системы отсчета $S$ в инерциальную систему $S'$, движущуюся относительно первой со скоростью $\vartheta_0$ вдоль положительного направления оси $Z(OZ \uparrow \uparrow OZ)$, импульс и энергия преобразуются так же как координаты пространственно-временной точки $(x,y,z,t) \to (x',y',z',t')$: $$p_{z}c=G\left(p_{z}'c+\frac{\vartheta_0}{c}E'\right),$$ $$p_{x}=p_{x}',$$ $$p_{y}=p_{y}',$$ $$E=G\left( E'c+\frac{\vartheta_0}{c}p_{z}' c\right). \quad (3)$$ Здесь $$E'/c=\sqrt{m^2c^2+p_{x}'^2+p_{y}'^2+p_{z}'^2}, G=1/\sqrt{1-(V/c)^2}.$$
3. Определите, при какой наименьшей энергии протона возможна реакция (2):

a) [2 балла] в системе центра масс протона и фотона $p+\gamma$ (то есть в системе отсчета, в которой суммарный импульс протона и фотона равен нулю);
b) [3 балла] в системе Галактики.
Исходя из полученных результатов, определите максимальную энергию протонов в спектре КЛ.
4. [1 балл] Предполагая, что в системе Галактики протон имеет максимальную энергию $E_{p}^{\max}$ и сталкивается с летящим ему навстречу реликтовым фотоном, определите импульс $\pi^0$-мезона в реакции (2) в этой же системе отсчета для случая, когда вылетающие частицы движутся по или против направления начального импульса протона. Насколько при этом изменяется импульс протона?
5. [1.5 балла] Какова величина импульса вылетающего фотона в комптоновском рассеянии (1) при тех же условиях, что и в пункте 4?
6. [1 балл] Возможна ли реакция (2) с реликтовым излучением, если в системе Галактики начальные импульсы протона и фотона направлены в одну сторону? Если реакция воз-можна, то какова при этом должна быть минимальная величина начального импульса фотона в системе Галактики?