14-я Жаутыковская олимпиада (2018), теоретический тур

(10,0 балла)
Физика в горах

Атмосфера реальной планеты, такой как Земля, имеет довольно сложное строение ввиду большого многообразия участвующих в ее формировании процессов и явлений. В этой задаче мы рассмотрим две простые модели нижнего слоя атмосферы, называемого тропосферой, который простирается на высоту до $10-15$ км над поверхностью Земли. Для понимания физики некоторых явлений достаточно считать атмосферу Земли состоящей из однокомпонентного двухатомного газа, имеющего молярную массу $\mu_{\text{air}}=28,9\cdot 10^{-3}$ кг/моль.
Часть 1. Изотермическая атмосфера. В атмосфере самый нижний приповерхностный слой имеет практически постоянную температуру, так как он нагревается от поверхности Земли. Поэтому примем в этой части, что температура атмосферы одинакова по всей ее высоте и равна $T_0=293$ К, а давление воздуха у поверхности Земли составляет $p_0=1,013\cdot 10^5$ Па. Считайте, что ускорение свободного падения $g=9,81$ м/с$^2$ не зависит от высоты над поверхностью Земли, так как толщина атмосферы много меньше радиуса Земли $R_{E}=6400$ км. Универсальная газовая постоянная равна $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$К).
1.1. Найдите и вычислите массу $M$ атмосферы Земли;
1.2. Найдите и вычислите давление воздуха $p_{H}$ на высоте $H=1500$ м над поверхностью Земли.
С физической точки зрения интересен вопрос о том, как быстро успевает прогреваться атмосфера при смене дня и ночи. Из наблюдений известна так называемая солнечная постоянная $\alpha=1367$ Вт/м$^2$, которая представляет собой суммарную мощность солнечного излучения в районе орбиты Земли, проходящего через единицу поверхности, ориентированной перпендикулярно его потоку.
1.3. Оцените количество теплоты $\sigma Q$, необходимое для нагревания атмосферы на $\Delta T=1$ К;
1.4. Найдите и вычислите интервал времени $\tau$, который должно светить Солнце, чтобы сообщить Земле количество теплоты $\sigma Q$.
Часть 2. Адиабатическая атмосфера. Реальная тропосфера не является изотермической и температура воздуха уменьшается с высотой. Благодаря постоянно протекающим конвективным процессам, тропосфера может считаться практически адиабатической. Пусть температура и давление воздуха у поверхности Земли составляют $T_0=293$ К и $p_0=1,013\cdot 10^5$ Па соответственно. По-прежнему считайте, что ускорение свободного падения $g=9,81$ м/с$^2$ не зависит от высоты над поверхностью Земли.
2.1. Найдите и вычислите температуру воздуха $T_{H}$ на высоте $H=1500$ м над поверхностью Земли;
2.2. Найдите и вычислите давление воздуха $p_{H}$ на высоте $H=1500$ м над поверхностью Земли.
В построенной модели высота тропосферы Земли определяется достижением некоторой критической температуры, при которой начинают играть существенную роль другие физические процессы.
2.3. Оцените разницу высот $\Delta H_{\text{atm}}$ тропосферы Земли в дневное и ночное время, если колебание температуры у поверхности за это время составляет $\Delta T_{\text{dn}}=20$ К.
Альпинист начинает восхождение на достаточно высокую гору, у подножия которой температура и давление воздуха равны $T_0=293$ К и $p_0=1,013\cdot 10^5$ Па. На высоте $H=1500$ м он решает сделать привал для того, чтобы вскипятить воду и обнаруживает, что она закипает быстрее обычного. Он открывает имеющийся при себе справочник по физике и находит, что при температуре $T_1=373$ К давление насыщенного водяного пара равно $p_1=p_0=1,013\cdot 10^5$ Па, а при температуре $T_2=365$ К — $p_2=0,757\cdot 10^5$ Па.
2.4. Найдите и вычислите температуру кипения воды на высоте $H=1500$ м.
После возобновления подъема альпинист обнаруживает, что на некоторой высоте появляется снег и приходится использовать специальное оборудование;
2.5. Найдите и вычислите высоту $h_0$, на которой альпинист заметил появление снежного покрова на горе.
Альпинист вспомнил разговор с местными жителями перед восхождением, в котором ему сообщили, что снежный покров полностью исчезает с горы при температуре у подножия, превышающей $T=310$ К.
2.6. Найдите и вычислите высоту $H_0$ горы, на которую совершает восхождение альпинист.
Поднявшись еще выше по склону горы на некоторую высоту $H'$, альпинист замечает появление тумана. Оглянувшись по сторонам, он отмечает, что облаков нет и ветер отсутствует. Альпинист знает, что молярная масса воды составляет $\mu_{H_2 O}=18\cdot 10^{-3}$ кг/моль, а по прогнозу погоды относительная влажность воздуха у подножия горы составляла $\varphi=0,25$. В справочнике по физике он находит формулу для давления насыщенных паров воды в интервале температур $T\in (250,300)$ К, которая имеет следующий вид $$\ln\frac{p_{\text{vap}}}{p_{\text{vap}0}}=a+b\ln\frac{T}{T_0},$$ где $p_{\text{vap}}$ — давление насыщенных паров при температуре $T$, $p_{\text{vap}0}$ — давление насыщенных паров при температуре $T_0$, $a=3,63\cdot 10^{-2}$, $b=18,2$ — постоянные. При вычислениях считайте, что пар находится в термодинамическом равновесии с окружающим его воздухом.
2.7. Найдите и вычислите высоту $H'$;
2.8. Найдите и вычислите минимальную влажность воздуха $\varphi_{\min}$ у подножья горы, при которой на ней еще будет наблюдаться туман.
Математическая подсказка Вам может понадобится знание следующего интеграла:$\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|$.