13-я Жаутыковская олимпиада (2017), теоретический тур

(10,0 балла) Фантастические путешествия по Вселенной Разведывательный космический корабль развитой цивилизации бороздит просторы Вселенной. В этой задаче Вам предстоит рассмотреть несколько ситуаций этого межзвездного путешествия с физической точки зрения. Во всех численных расчетах считайте гравитационную постоянную известной и равной $G=6,672\times 10^{-11}$ м$^3$/(кг$\cdot$с$^2$).
1. Планеты диковинных форм (3,9 балла)
На некотором расстоянии от корабля капитан обнаружил первую планету, которая имела странную форму параллелепипеда с квадратным основанием $a$ и очень малой толщиной $h\ll a$. Капитан отдал приказ следовать на планету по курсу, показанному на рисунке. $$\includegraphics[scale=0.3]{Zhaut_2017_T_2_1_1}$$
После выключения двигателей обнаружилось, что ускорение свободного падения корабля $g$, сообщаемое ему планетой на расстояниях много больших $h$, пропорционально телесному углу $\Omega$, под которым планета видна с корабля, то есть: $$g=\alpha \Omega.$$ $$\includegraphics[scale=0.3]{Zhaut_2017_T_2_1_2}$$ Телесный угол $\Omega$ — это часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Телесный угол измеряется отношением площади $S$ той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса $R$ сферы: $$\Omega=\frac{S}{R^2}.$$ Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса $R$ поверхность с площадью $R^2$. Полная сфера образует телесный угол, равный $4\pi$ стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы.
Высадившись на поверхность и взяв пробы грунта, ученые сообщили капитану, что планета состоит из однородного материала плотности $\rho_1=3000$ кг/м$^3$, а ускорение свободного падения вблизи геометрического центра поверхности практически постоянно и равно $g_1=9,81\times 10^{-2}$ м/с$^2$.
1.1 [0,7 балла] Найдите и рассчитайте толщину планеты $h$;
1.2 [0,5 балла] Найдите и рассчитайте коэффициент $\alpha$;
Покинув первую планету, капитан и его команда встретили еще более экзотическую планету, которая по форме представляла собой правильную пирамиду, с квадратным основанием со стороной $a=10 000$ км и высотой $\frac{a}{2}$.
1.3 [0,7 балла] Найдите и рассчитайте ускорение свободного падения $g_2$, измеренное на вершине однородной пирамидальной планеты, если ее плотность равна $\rho_2=4500$ кг/м$^3$.
Космический корабль покинул пирамидальную планету с ее вершины, стартовав со второй космической скоростью $\vartheta_1=3,45$ км/с. Следующей на пути встретилась планета, имеющая форму идеального куба со стороной $a$. Проведя измерения, капитан и его команда выяснили, что плотность кубической планеты равна $\rho_3=5000$ кг/м$^3$.
1.4 [2,0 балла] Найдите и рассчитайте вторую космическую скорость $\vartheta_2$ при старте корабля с одной из вершин кубической планеты.
2. Пылевое облако (6,1 балла) На пути корабля встречается очень большое массивное пылевое облако радиуса $R=1,5\times 10^7$ км c однородной плотностью $\rho_4=50$ кг/м$^3$. Скорость корабля на большом расстоянии от облака равна $\vartheta_{\infty}=100$ км/с, а прицельное расстояние до центра равно $b=1,5\times 10^8$ км. Двигатель корабля выключен. $$\includegraphics[scale=0.3]{Zhaut_2017_T_2_2}$$
2.1 [2,5 балла] Найдите и рассчитайте координату входа корабля в пылевое облако, характеризуемую углом $\theta$.
2.2 [2,0 балла] Найдите и рассчитайте минимальное расстояние $r_{\min}$, на котором корабль пролетит от центра облака. Сопротивлением частиц облака движению корабля можно пренебречь.
Определив таким образом, что избежать столкновения с облаком невозможно, капитан корабля включает двигатель, изменяя скорость $\vartheta_{\infty}$.
2.3 [1,0 балла] Найдите и рассчитайте минимальную скорость $\vartheta_{\infty,\min}$, при которой корабль минует облако.
Успешно миновав препятствие, капитан и его команда обнаружили, что частицы пылевого облака содержат ценные элементы.
2.4 [0,6 балла] Найдите минимальную работу $A$, которую необходимо совершить, чтобы постепенно доставить все пылевые частицы на очень удаленный перерабатывающий завод.