12-я Жаутыковская олимпиада (2016), теоретический тур

Нелинейный конденсатор (10,0 балла) В электрическую схему с источником напряжения $U_0$ включены последовательно сопротивление $R=1$ кОм и нелинейный конденсатор, емкости которого зависит от напряжения, а соответствующий график показан на рисунке ниже.
Примечания: для выполненния задания вам может понадобиться клетчатая бумага, расположенная под графиком.
1. [0,75 балла] Пусть $U_0=5$ В. Определите заряд конденсатора, который установится на нем через достаточно большое время;
Пусть в начальный момент времени заряд на конденсаторе равен нулю, а источник дает напряжение $U_0=10$ В. Из графика видно, что емкость конденсатора при этом напряжении обращается в бесконечность, то есть $C(10 В)=\infty$.
2. [0,25 балла] Чему равно время зарядки конденсатора до напряжения $U_0=10$ В?
3. [3,0 балла] Определите момент времени $t$, когда заряд на конденсаторе станет равным $q=4$ мкКл;
4. [0,5 балла] В течении какого промежутка времени $\Delta t$ заряд на конденсаторе увеличится с $q_0=4$ мкКл до $q=8$ мкКл;
5. [0,5 балла] Найдите заряд конденсатора в момент времени $t_0=3$ мс; Пусть источник дает постоянное напряжение с небольшой добавкой переменного напряжения, так что $U_0=U+\delta U \sin\omega t =[5+0,1 \sin\omega t]$ В, где $\omega=2500$ рад/с. Через достаточно большое время в цепи установятся колебания напряжения и тока.
6. [0,5 балла] Чему равна разность фаз $\varphi$ между колебаниями напряжения на конденсаторе и сопротивлении?
7. [4,0 балла] Найдите зависимость силы тока в цепи $I(t)$ от времени;
8. [0,5 балла] Найдите зависимость напряжения $U_{C} (t)$ на конденсаторе от времени.