10-я Жаутыковская олимпиада (2014), теоретический тур

Метаматериалы (10 баллов)

Метаматериал — композиционный материал, свойства которого обусловлены не столько свойствами составляющих его элементов, сколько искусственно созданной периодической структурой. Метаматериалы синтезируются в современных нанолабораториях внедрением в исходный природный материал различных периодических структур с самыми различными геометрическими формами, которые модифицируют физические свойства исходного материала. В очень грубом приближении такие внедрения можно рассматривать как искусствен-но внесенные в исходный материал атомы чрезвычайно больших размеров. Разработчик метаматериалов при их синтезировании имеет возможность варьирования различных свободных параметров (размеры структур, форма, постоянный и переменный период между ними и т. д.). В одной из нанолабораторий был получен метаматериал, из которого изготовили проводник длиной $L=5$ см и радиусом $R=1$ мм, проводимость которого зависит от расстояния до оси по закону $\sigma_0=\beta r$. Свойства проводника были экспериментально определены и представлены в следующей таблице:

1. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для полного сопротивления проводника $R_0$ и рассчитайте его численное значение; По проводнику пропускают ток силой $I=1$ А. Известно, что теплообмен с окружающей средой происходит по закону Ньютона-Рихмана $$P_{\text{est}}=\alpha(T_{s}-T_{0}),$$ где $P_{\text{est}}$ — мощность потерь с единицы поверхности проводника с температурой поверхности $T_{s}$, $T_0=293$ К — температура окружающей среды, $\alpha$ — некоторая постоянная, называемая коэффициентом теплоотдачи.
2. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для температуры поверхности проводника $T_{s}$ и рассчитайте ее численное значение; Температура проводника меняется с глубиной вследствие явления теплопроводности, которое описывается следующим законом Фурье $$P=-kS\frac{\Delta T}{\Delta x},$$ где $P$ — мощность теплового потока между гранями параллелепипеда площадью $S$, $\Delta T$ — перепад температур между гранями параллелепипеда, расположенными на расстоянии $\Delta x$ друг от друга, $k$ — коэффициент теплопроводности.
3. [2.5 балла] Найдите аналитическую формулу для температуры в центре проводника $T_{\max}$ и рассчитайте ее численное значение;
4. [0.5 балла] Найдите аналитическую формулу для изменения радиуса проводника $\delta R_{T}$, обусловленного тепловым расширением, и рассчитайте его численное значение; Внимание! В дальнейших расчетах считайте проводник бесконечно длинным.
5. [0.5 балла] Найдите зависимость индукции магнитного поля $B(r)$ внутри проводника в зависимости от расстояния $r$ до его оси;
6. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для энергии магнитного поля $W_{B}$ внутри проводника и рассчитайте ее численное значение;
7. [1.0 балла] В результате пропускания электрического тока по проводнику в нем возникает механическое напряжение. Найдите зависимость давления $p(r)$ внутри проводника в зависимости от расстояния $r$ до его оси;
8. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для механической энергии деформаций проводника $W_{\sigma}$ и рассчитайте ее численное значение;
9. [1.0 балла] Найдите аналитическую формулу для изменения радиуса проводника $\sigma W_{\sigma}$, обусловленного механическими напряжениями, и рассчитайте его численное значение;
10. [0.5 балла] Найдите величину коэффициента теплового расширения $\gamma$, при которой радиус проводника не изменился бы при пропускании через него электрического тока. Справка. Значение магнитной постоянной равно $\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м.