10-я Жаутыковская олимпиада (2014), теоретический тур

Реактивное движение (10 баллов)

В ракетных двигателях сила тяги создается в результате выброса продуктов горения топлива в направлении, противоположном движению. При этом, естественно, масса ракеты уменьшается. Эта идея была впервые высказана великим русским ученым К.Э. Циолковским для осуществления движения объектов в пустоте, например, в космическом пространстве. Сейчас полеты в космос стали уже привычными, на территории Казахстана расположен космодром Байконур, с которого был запущен первый спутник Земли и стартовал первый космонавт — Ю.А. Гагарин. Космодром Байконур представляет собой комплекс высокотехнологических сооружений, предназначенных для запуска пилотируемых аппаратов в космос, в частности, на Международную космическую станцию.
Классическая ракета Пусть ракета имеет начальную массу $m_0$, а скорость истечения топлива относительно ракеты постоянна и равна $u$. Считайте пока, что в начальный момент времени ракета покоится в лабораторной системе отсчета и внешние силы отсутствуют.
1. [0.5 балла] Найдите зависимость скорости ракеты $\vartheta$ от ее массы $m$. Эта формула называется формулой Циолковского. Ответ выразите через $m$, $m_0$, $u$.
2. [0.5 балла] Пусть объект массы $m=1000$ кг требуется разогнать до первой космической скорости. Найдите начальную массу ракеты $m_0$ с топливом, если $u=5$ км/с, ускорение свободного падения $g=9,8$ м/с$^2$, радиус Земли $R=6400$ км.
Пусть ракета движется в поле тяжести Земли, ускорение свободного падения $g$ которого будем считать постоянным, а расход топлива $\mu(t)=-dm(t)/dt$ может зависеть от времени.
3. [0.75 балла] Запишите уравнение движения ракеты в гравитационном поле Земли. Это уравнение называется уравнением Мещерского. Ответ выразите через $m$, $v$, $u$, $g$, $\mu$.
Далее считайте, что скорость истечения топлива $u$ направлена вдоль ускорения свободного падения $g$, а начальная скорость ракеты равна нулю.
4. [0.75 балла] Найдите, как расход топлива $\mu_{st}(t)$ должен зависеть от времени $t$, чтобы ракета висела на одной высоте неподвижно. Ответ выразите через $m_0$, $u$, $g$, $t$. Пусть теперь расход топлива постоянен во времени и равен $\mu$, причем всегда $\mu>\mu_{st}(t)$.
5. [2.0 балла] Тогда зависимость скорости ракеты $\vartheta(t)$ от времени $t$. может быть представлена в виде $$v(t)=A_1t+A_2ln(1+A_3t),$$ где $A_1$, $A_2$, $A_3$ — некоторые постоянные. Найдите $A_1$, $A_2$, $A_3$ и выразите их через $m_0$, $u$, $g$, $\mu$.
6. [1.0 балла] Пусть начальная масса ракеты равна $m_0$, а конечная масса — $m$. Найдите максимальную высоту $H_{\max}$, которую может достигнуть ракета и соответствующий расход топлива $\mu_{opt}$. Ответ выразите через $m_0$, $m$, $u$, $g$. Релятивистская ракета
В предыдущей части считалось, что ракета движется с нерелятивистской скоростью. Для осуществления межзвездных путешествий необходимо разгонять ракеты до скоростей, близких к скорости света и тогда в расчетах нельзя пренебрегать эффектами теории относительности. Для установления характера движения ракеты в релятивистском случае введем понятие сопутствующей системы отсчета. Сопутствующая система отсчета — это инерциальная система отсчета, которая движется относительно лабораторной системы отсчета со скоростью самой ракеты, то есть это система отсчета, в которой ракета в данный момент времени покоится.
7. [2.5 балла] Найдите связь ускорения ракеты в сопутствующей системе отсчета $a_{p}$ с ее ускорением в лабораторной системе отсчета $a_{r}$, если скорость ракеты в данный момент времени равна $v$, а скорость света — $c$. Ответ выразите через $a_{p}$, $a_{r}$, $v$, $c$.
8. [1.5 балла] Пусть ракета в начальный момент времени покоится. Тогда используя результаты предыдущего пункта можно показать, что масса ракеты в некоторый момент времени в сопутствующей системе отсчета связана с ее скоростью в лабораторной системе соотношением $$m=m_0\left(\frac{1-v/c}{1+v/c}\right)^{\alpha}.$$ Найдите $\alpha$ и выразите его через $u$, $c$.
9. [0.25 балла] Пусть объект массы $m=1000$ кг требуется разогнать до скорости $\vartheta=0,5$ с, равной половине скорости света $c=3\cdot 10^8$ м/с. Найдите начальную массу ракеты $m_0$ с топливом в виде степени с основанием $10$, если скорость истечения топлива $u=5$ км/с,
10. [0.25 балла] С точки зрения практики наилучшей является так называемая фотонная ракета, которая выбрасывает назад не раскаленные газы, получаемые при сгорании топлива, а фотоны. Пусть объект массы $m=1000$ кг требуется разогнать до скорости $\vartheta=0,5$ км/с. Найдите начальную массу фотонной ракеты $m_0$.