9-я Жаутыковская олимпиада (2013), теоретический тур

Квадратная рамка (10 баллов)

Квадратная рамка со стороной $a=10$ см помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B=10^{-1}$ Тл, создаваемое постоянным магнитом. Полностью пренебрегайте краевыми эффектами, считая магнитное поле между полюсами магнита однородным и равным нулю снаружи. Для всех частей задачи считайте, что рамка массой $m=5$ г в начальный момент времени находится в покое у края полюсов магнита, смотрите рисунок.
1. [0.2 балла] В вашем решении перерисуйте схематически этот рисунок и укажите, какой из полюсов магнита является северным $N$, а какой южным $S$.
Часть А. Пусть рамка изготовлена из проводящего материала, имеет сопротивление $R=10^{-2}$ Ом и пренебрежимо малую индуктивность. В момент времени $t=0$ к рамке прикладывается постоянная сила $F=10^{-4}$ Н, с помощью которой она вытягивается из магнитного поля.
2. [1.2 балла] Найдите аналитическую зависимость скорости рамки $v(t)$ от времени $t$, считая, что рамка все время остается между полюсами магнита. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $R$ и $t$.
3. [0.8 балла] Запишите точное уравнение для определения времени $t_0$ нахождения рамки между полюсами магнита. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $R$ и $t_0$. Приближенно вычислите время $t_0$.
4. [1.2 балла] Постройте график зависимости скорости рамки $v(t)$ от времени $t$ за интервал от $0$ до $12$ с.
5. [1.2 балла] Постройте график зависимости тока в рамке $I(t)$ от времени $t$ за интервал от $0$ до $12$ с.
Часть B. Пусть рамка изготовлена из сверхпроводящего материала, имеет индуктивность $L=10^{-1}$ Гн, ту же массу и размеры. В момент времени $t=0$ к рамке прикладывается постоянная сила $F$, с помощью которой она вытягивается из магнитного поля.
6. [1.8 балла] Найдите минимальную силу $F_{\min}$, при которой рамку удастся вытянуть из магнита. Выразите ваш ответ через $B$, $a$, $L$ и рассчитайте численное значение.
7. [0.6 балла] В условиях предыдущего пункта найдите минимальное время $t_0$ до максимального выдвижения рамки из магнита. Выразите ваш ответ через $m$, $B$, $a$, $L$ и рассчитайте численное значение.
8. [1.0 балла] Постройте график зависимости тока в рамке от времени за интервал времени от $0$ до $4t_0$.
Часть C. Квадратная рамка со стороной $a$ изготовлена из проводящего материала, имеет индуктивность $L$, сопротивление $R$ и массу $m$. В момент времени $t=0$ рамке сообщают начальную скорость $v_0$, направленную так же, как и сила на рисунке сверху. Известно, что в момент, когда рамка практически покидает магнит, ее скорость обращается в ноль.
9. [2.0 балла] Найдите аналитическое выражение для силы тока $I_0$ в рамке в момент времени, когда ее скорость обращается в ноль. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $L$, $R$ и $v_0$.