7-я Жаутыковская олимпиада (2011), теоретический тур

(10 баллов)
Термодинамика простейшего квантового идеального газа В классической физике энергия системы изменяется непрерывно. В физике микромира большинство физических величин квантуется, то есть принимает дискретный ряд значений. Квантование энергии может приводить к реально наблюдаемым макроскопическим эффектам. В данной задаче вам предлагается рассмотреть простейшую модель квантового идеального газа. Модель

Газ состоит из $N$ одинаковых атомов массы $m$, которые находятся в длинном цилиндрическом сосуде длиной $L$ и площадью поперечного сечения $S$. Атомы могут двигаться только вдоль оси сосуда. Кинетическая энергия атомов квантуется, то есть может принимать дискретный ряд значений, определяемый формулой $$E_{n}=n\varepsilon,\quad (1)$$ где $n=1,2,3,...$, а $\varepsilon$ — известная постоянная величина. Считайте, что для кинетической энергии атома применима классическая формула. Сосуд приведен в контакт с термостатом так, что температура газа в сосуде равна $T$. Изменение величины кинетической энергии атомов происходит в результате контакта с термостатом. Концентрация атомов невелика, так что столкновениями атомов между собой можно пренебречь. В состоянии термодинамического равновесия число атомов $N_{n}$, имеющих энергию $E_{n}$, определяется функцией распределения Больцмана $$N_{n}=C\exp\left(-n\frac{\epsilon}{k_{B}T}\right), \quad (2)$$ где $k_{B}$ — постоянная Больцмана, $C$ — нормировочный множитель, который вам необходимо определить самостоятельно. Задания:
1 [1 балл] Определите число атомов $N_{n}$, имеющих энергию $E_{n}$. Ответ выразите через $N$, $\epsilon$, $T$ и $k_{B}$.
2. [3 балла] Найдите выражение для внутренней энергии $U$ газа. Ответ выразите через $N$, $\epsilon$, $T$ и $k_{B}$. Получите приближенные формулы для внутренней энергии газа в двух предельных случаях $k_{B}T\gg \epsilon$(высокая температура, классический предел) и $k_{B}T\ll \epsilon$ (предел низких температур).
3 [3 балла] Вычислите молярную теплоемкость газа $C_{\nu}$ при постоянном объеме. Ответ вы-разите через $N$, $\epsilon$, $T$ и $k_{B}$. Получите приближенные формулы для теплоемкости в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости молярной теплоемкости рассматриваемого газа от температуры.
4 [3 балла] Найдите давление $P$, создаваемое газом на стенку сосуда. Ответ выразите через $N$, $\epsilon$, $T$ и $k_{B}$. Получите приближенные формулы для давления в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости давления газа от температуры. При решении данных задач вы можете использовать формулы: $$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\frac{x}{1-x}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^2}$$ $$\exp(x)\thickapprox1+x, x\ll 1,$$ $$\frac{1}{1-x}\thickapprox 1+x, |x|\ll 1.$$