5-я Жаутыковская олимпиада (2009), теоретический тур

Тепловое излучение (10 баллов) Электромагнитное излучение, испускаемое нагретыми телами, называется тепловым. Тепловое излучение характеризуется интегральной и спектральной светимостью. Интегральной светимостью тела $R$ называется суммарная энергия излучения, ис-пускаемого с единицы площади поверхности тела в единицу времени. Спектральной светимостью тела $r_{\lambda}$ в узком интервале длин волн от $\lambda$ до $\lambda+\Delta \lambda$ называется отношение светимости $\Delta R$ в данном спектральном диапазоне к спектральной ширине этого диапазона $r_{\lambda}=\frac{\Delta R}{\Delta \lambda}$. Интегральная и спектральная светимости тела зависят как от свойств самого тела, так и от его температуры. Светимость тела связана с его способностью поглощать падающее электромагнитное излучение. Чем лучше тело поглощает падающее на него излучение, тем сильнее оно будет излучать при нагревании. Если тело полностью поглощает все падающее на него излучение, то такое тело называется абсолютно черным. Распределение энергии излучения черного тела по спектру (то есть его спектральная светимость) хорошо изучено экспериментально и описано теоретически. На рисунках $1$ и $2$ построены кривые спектральной светимости абсолютно черного тела при двух различных температурах:$T_1=2000$ К (рис. 1) и $T_2=1300$ К (рис. 2).
1. Используя приведенный график зависимости спектральной светимости для температуры $T_1=2000$ К, найдите отношение энергий испускаемых черным телом в спектральных интервалах $(\lambda_1,\lambda_1+\Delta\lambda)$ и $(\lambda_2,\lambda_2+\Delta\lambda)$ для $\lambda_1=2,0\cdot 10^{-6}$ м, $\lambda_2=4,0\cdot 10^{-6}$ м, $\Delta \lambda=0,5 \cdot 10^{-6}$ м. (1 балл)
2. Вин установил, что длина волны $\lambda_{n}$, на которую приходится максимум спектральной светимости, связана с температурой соотношением $$\lambda_{m}=bT^{n},\eqno(1)$$ где величина $b$ называется постоянной Вина, $n$ — некоторая целочисленная постоянная. Используя приведенные графики, найдите значения постоянных $b$ и $n$. (2 балла)
3. Стефаном и Больцманом установлено, что интегральная светимость черного тела зависит от температуры по закону $$R=\sigma T^{m}, \eqno(2)$$ здесь $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана,$m$ — некоторая целочисленная постоянная. Используя приведенные графики, найдите значения постоянных $\sigma$ и $m$. (3 балла)
4. Спектральный состав излучения Солнца близок к спектральному составу излучения абсолютно черного тела с $\lambda_{m}=0,48\cdot 10^{-6}$ м. Оцените время, за которое благодаря тепловому излучению, масса Солнца уменьшится на $1\%$. Масса Солнца — $2\cdot 10^{30}$ кг, его радиус $7\cdot 10^8$ м. (4 балла)