Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функциясы келесі қасиеттерге ие:
а) $f\left( m+n \right)\ge f\left( m \right)+f\left( n \right)$ кез келген натурал $m,n$ үшін;
б) $f\left( 1 \right) > 1$;
в) $f\left( 3000 \right) < 3002$.
$f\left( 2000 \right)$ мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

$$a) f(m+n) \geq f(m)+ f(n) \Rightarrow f\Bigg(\sum_{i=1}^k m_i \Bigg) \geq \sum_{i=1}^k f(m_i) \qquad (1)$$

$$b) 1<f(1) \Rightarrow \sum_{i=1}^{2000} 1 < \sum_{i=1}^{2000}f(1) \leq f(2000) \Rightarrow f(2000)>2000\qquad (2) $$

$$ c) 3002>f(3000)\geq f(1000)+f(2000)=f\Bigg(\sum_{i=1}^{2000}\Bigg)+f(2000) \geq 1000f(1)+f(2000)>1000+f(2000)\Rightarrow$$

$$ \Rightarrow 3002>1000+f(2000)\Rightarrow 2002>f(2000)\qquad (3)$$

$$ (2),(3) \Rightarrow 2002>f(2000)>2000 $$

$$ f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} \Rightarrow f(2000)=2001$$

Задача некорректна: f(1) >=2, поэтому f(3000) >=3000*2=6000

Не понятен ваш переход. Почему из того, что $f(1)\ge2$ должно следовать $f(3000)\ge 6000$?

потому что из первого свойства следует, что функция суммы не меньше суммы функций, по индукции это можно распространить на любое количество слагаемых. А далее 3000 это сумма 3000 единиц.