Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып
f:N→N функциясы келесі қасиеттерге ие:
а) f(m+n)≥f(m)+f(n) кез келген натурал m,n үшін;
б) f(1)>1;
в) f(3000)<3002.
f(2000) мәнін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде
а) f(m+n)≥f(m)+f(n) кез келген натурал m,n үшін;
б) f(1)>1;
в) f(3000)<3002.
f(2000) мәнін табыңыз.
Комментарий/решение:
a)f(m+n)≥f(m)+f(n)⇒f(k∑i=1mi)≥k∑i=1f(mi)(1)
b)1<f(1)⇒2000∑i=11<2000∑i=1f(1)≤f(2000)⇒f(2000)>2000(2)
c)3002>f(3000)≥f(1000)+f(2000)=f(2000∑i=1)+f(2000)≥1000f(1)+f(2000)>1000+f(2000)⇒
⇒3002>1000+f(2000)⇒2002>f(2000)(3)
(2),(3)⇒2002>f(2000)>2000
f:N→N⇒f(2000)=2001
потому что из первого свойства следует, что функция суммы не меньше суммы функций, по индукции это можно распространить на любое количество слагаемых. А далее 3000 это сумма 3000 единиц.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.