Западно-Китайская математическая олимпиада, 2018 год

Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB > AC$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно так, что $BF+CE=BC$. Точки $I_{B} , I_{C} $ — центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам $B$ и $C$ соответственно. Прямые $EI_{C} , FI_{B} $ пересекаются в точке $T$. Точка $K$ — середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Прямая $KT$ и описанная окружность треугольника $ABC$ пересекаются в точках $K$ и $P$. Докажите, что точки $T, F, P, E$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Пусть $D \in BC$ такая, что $BD = BF$, $CD = CE$, $KD \cap (ABC) = Q (Q \neq K)$, $A'$ симметрична $A$ относительно $CI_C \Rightarrow A' \in BC$, $\triangle I_CAC = \triangle I_CA'C$

Пусть $I_CA' \cap (I_CAQ) = X$

$\Rightarrow \angle XI_CA = 360^\circ - 2\angle I_CAC - \angle ACB = 360^\circ - 2(90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC) - \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = \angle ABC = \angle AQC \Rightarrow X \in QC$

$\angle XA'D = 180^\circ - \angle I_CA'C = 180^\circ - \angle I_CAC = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \overset{\smile}{KC} = \angle KQC \Rightarrow A'DQX$ - вписанный

$\Rightarrow CA \cdot CE = CA' \cdot CD = CQ \cdot CX \Rightarrow E \in (I_CAQ) \Rightarrow$ Аналогично, $F \in (I_BAQ)$

Пусть $AQ \cap (EFQ) = S$, $EI_C \cap (EFQ) = T_1$, $FI_B \cap (EFQ) = T_2 (S \neq Q$, $T_1 \neq E$, $T_2 \neq F)$

$EQ$ антипараллельна $I_CA$ и $ST_1$ относительно $\angle (EI_C, AQ) \Rightarrow I_CA$ $\|$ $ST_1 \Rightarrow$ Аналогично, $I_BA$ $\|$ $ST_2$

$A \in I_BI_C \Rightarrow ST_1$ $\|$ $I_BI_C$ $\|$ $ST_2 \Rightarrow T_1 = T_2 = EI_C \cap FI_B = T$

Пусть $KQ \cap (EFQ) = R (R \neq Q), ST \cap BC = V$

$\angle SVD = \angle (ST,BC) = \angle (I_BI_C,BC) = | \frac{1}{2} (\overset{\smile}{AB} - \overset{\smile}{CK})| = \frac{1}{2} \overset{\smile}{AK} = \angle AQK = \angle SQD \Rightarrow SVQD$ - вписанный

$\Rightarrow SD$ антипараллельна $TR$ и $BC$ относительно $\angle (SV,QD) \Rightarrow TR$ $\|$ $BC$

Пусть $TK \cap BC = D' \Rightarrow$ Так как при инверсии в $K$ и радиусом $BK = CK$ $BC$ и $(ABC)$ меняются местами, $D'DQP$ - вписанный

$PQ$ антипараллельна $BC$ относительно $\angle PKQ \Rightarrow PQ$ антипараллельна $TR$ относительно $\angle PKQ \Rightarrow PQRT$ - вписанный

$\Rightarrow TFEP$ - вписанный