Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып

$1999\times 1999$ өлшемді тақтаның бірнеше $1\times 1$ квадраттары, кез-келген баған мен кез-келген қатарда дәл бір боялған шаршы болатындай етіп боялған. Осы тақтадағы кез-келген $1000\times 1000$ квадратында ең болмағанда бір боялған шаршы табылатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Из условия понятно что всего на доске 1999 закрашенных клеток.Предположим что все же нашлось такой квадрат 1000$\times$1000 что в ней нету ни одной закрашенной клетки. В этом случае каждому столбцу и строке приходится по одной закрашенной клетке вне этого квадрата.То есть понадобится нам для этого 2000 закрашенных клеток. Но их у нас 1999. Противоречие.