Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып


Келесі теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңіздер: (x+1)4(x1)4=y3.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 года 1 месяца назад #

x1=z(z+2)4z4=y3

Пара чисел x,yZ удовлетворяет уравнению. Предположим, что z0.

y3=8z3+24z2+32z+16=8(z3+3z2+4z+2)

y=2tt3=z3+3z2+4z+2

Заметим, что (z+1)3=z3+3z2+3z+1<t3<z3+6z2+12z+8=(z+2)3, поэтому z+1<t<z+2 что невозможно. Предположим что z2 тогда пара чисел z1=z20z1=z также удовлетворяет исходному уравнению, так как

(z1+2)4z41=(z+1)4z4=y3=y31

Но как было доказано выше, неравенство z0 приводит противоречию. Таким образом, имеем оценки 2<z<0 на которых получаем единственное решение z=1,y=0

z=x1x1=1x=0,y=0

пред. Правка 2   0
3 года 1 месяца назад #