Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып
Келесі теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңіздер: (x+1)4−(x−1)4=y3.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x−1=z⇒(z+2)4−z4=y3
Пара чисел x,y∈Z удовлетворяет уравнению. Предположим, что z≥0.
y3=8z3+24z2+32z+16=8(z3+3z2+4z+2)
y=2t⇒t3=z3+3z2+4z+2
Заметим, что (z+1)3=z3+3z2+3z+1<t3<z3+6z2+12z+8=(z+2)3, поэтому z+1<t<z+2 что невозможно. Предположим что z≤−2 тогда пара чисел z1=−z−2≥0⇒z1=−z также удовлетворяет исходному уравнению, так как
(z1+2)4−z41=(z+1)4−z4=−y3=y31
Но как было доказано выше, неравенство z≥0 приводит противоречию. Таким образом, имеем оценки −2<z<0 на которых получаем единственное решение z=−1,y=0
z=x−1⇒x−1=−1⇒x=0,y=0
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.