Областная олимпиада по физике 2017, 11 класс, теоретический тур

[7 ұпай]. Массалары $m$ және $4m$ болатын екі төлке (втулка) түзусызықты горизонталь шабақтың (спицы) маңында үйкеліссіз сырғи алады (суретті қараңыз). Массасы $m$ төлке өзіне бекітілген қатаңдығы $k$ болатын жеңіл серіппемен бірге $\vartheta$ жылдамдықпен қозғалады. Массасы $4m$ төлке тыныштықта тұр. Төлкелердің өлшемдері серіппе ұзындығынан әлдеқайда кіші. Келесі шамаларды анықтаңыз:
а) серіппеден ажырағаннан кейінгі массасы $4m$ болатын төлкенің жылдамдығын;
б) массасы $4m$ болатын төлкенің серіппемен жанасу уақытын.

Комментарий/решение

а) Рассмотрим систему тел, состоящую из двух муфт. Вдоль горизонтальной оси на данную систему внешние силы не действуют, а по вертикали сумма внешних сил равна нулю. Это означает, что в любой момент времени у данной системы будут сохраняться энергия и импульс. Пусть после отрыва муфты $4m$ т пружины она имеет скорость $v_1$, а муфта массой $m-$ скорость $v_2$, и обе скорости направлены вдоль $v$. Запишем законы сохранения полной энергии и импульса наших муфт для двух моментов времени: когда муфта $4m$ неподвижна, а муфта массой $m$ движется со скоростью $v$, и после отрыва муфты $4m$ от пружины

$$\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{4mv_1^2}{2}+\dfrac{mv_2^2}{2}$$

$$mv=4mv_1+mv_2$$ Отсюда $v_1=\dfrac{2}{5}v$