Областная олимпиада по физике 2017, 11 класс, теоретический тур

[7 баллов]. Две втулки массами $m$ и $4m$ могут скользить без трения вдоль прямолинейной горизонтальной спицы (см.рисунок). Втулка массой $m$ с прикрепленной к ней легкой пружиной жесткостью $k$ движется со скоростью $\vartheta$. Втулка массой $4m$ покоится. Размеры втулок намного меньше длины пружины. Определите:
а) скорость втулки массой $4m$ после отрыва от пружины;
б) время контакта втулки массой $4m$ с пружиной.

Комментарий/решение

а) Рассмотрим систему тел, состоящую из двух муфт. Вдоль горизонтальной оси на данную систему внешние силы не действуют, а по вертикали сумма внешних сил равна нулю. Это означает, что в любой момент времени у данной системы будут сохраняться энергия и импульс. Пусть после отрыва муфты $4m$ т пружины она имеет скорость $v_1$, а муфта массой $m-$ скорость $v_2$, и обе скорости направлены вдоль $v$. Запишем законы сохранения полной энергии и импульса наших муфт для двух моментов времени: когда муфта $4m$ неподвижна, а муфта массой $m$ движется со скоростью $v$, и после отрыва муфты $4m$ от пружины

$$\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{4mv_1^2}{2}+\dfrac{mv_2^2}{2}$$

$$mv=4mv_1+mv_2$$ Отсюда $v_1=\dfrac{2}{5}v$