Областная олимпиада по физике 2017, 10 класс, теоретический тур

[8 баллов]. Электрическая цепь состоит из источника постоянного напряжения $U=3$ В, миллиамперметра с очень маленьким внутренним сопротивлением, четырех постоянных резисторов и одного переменного (см. на левый рисунок). На правом рисунке приведен график зависимости показаний миллиамперметра от величины сопротивления переменного резистора $R$. Найдите величины сопротивлений постоянных резисторов $R_1$ и $R_2$.

Комментарий/решение

Ответ: $$R_1=2000 (Ом); R_2=6000 (Ом)$$

$$R_1=6000 (Ом); R_2=2000 (Ом)$$

Идея решения-рассмотрение крайних положений резистора: $R\to 0$ и $R\to \infty$. Пусть $R\to \infty$. Тогда получим последовательное соединение резисторов $R_1,R_2$ и параллельно подключенные два блока резисторов

$I=\dfrac{U}{R_{экв}}=\dfrac{U}{\dfrac{(R_1+R_2)(R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_1+R_2}}=\dfrac{2U}{R_1+R_2}=0.75\cdot{10^{-3}}$

Отсюда $R_1+R_2=8000 (Ом)$

Пусть $R\to 0$. Это значит, что вместо резистора можно поставить перемычку. Найдём $R_{экв}$. $R_{экв}=\dfrac{2R_1R_2}{R_1+R_2}=\dfrac{2R_1R_2}{8000}$. Ток отсюда $$I=\dfrac{U}{R_{экв}}=\dfrac{U}{\dfrac{2R_1R_2}{8000}}=\dfrac{12000}{R_1R_2}=1\cdot{10^{-3}}$$ $$R_1R_2=12000000$$ Из этой системы уравнений получаем два возможных решения $$R_1=2000 (Ом); R_2=6000 (Ом)$$

$$R_1=6000 (Ом); R_2=2000 (Ом)$$