Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып

Бір тоқсанның әр күнінде (92 күн) авиакомпания он рейстен жасайды. Сонымен қатар әр ұшақ тәулігіне біреуден артық емес рейс жасаған. Кез келген екі күнді алсақ, осы екі күнде де ұшқан бір ұшақ бары анық. Олай болса, осы тоқсанның барлық күнінде де ұшқан ұшактың бар екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Рассмотрим 10 самолетов, летавших в первый день. Хотя бы один из них должен был летать еще, по крайней мере, 10 дней (так как в каждый из оставшихся 91 день летал один из этих десяти самолетов).

Рассмотрим самолет, летавший не менее одиннадцати дней. Без ограничения общности можно считать, что это были дни с первого по одиннадцатый (и возможно еще какие-нибудь). Предположим, что есть день А , в который этот самолет не летал, тогда для каждого из первых одиннадцати дней и дня А найдется самолет, летавший в этот день и в день А . Для каких-то двух из одиннадцати дней (например, для первого и для второго) эти самолеты совпадут, поскольку в день A совершить более десяти рейсов невозможно. Получим противоречие: два самолета летало как в первый день, так и во второй.