Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл
Комментарий/решение:
Ответ: все n \equiv 1,5 \pmod 6, за исключением 5 и 17.
Как обычно, мы будем рисовать равностороннюю сетку, полученную путем многократного отражения треугольника. Затем мы накладываем на сетку такие координаты, что A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1). Тогда точками, соответствующими отражениям A, будут точки P = (a,b) такие, что a \equiv b \pmod 3.
Заметьте, что условие обхода других вершин равнозначно \gcd(a,b) = 1. Более того, при переходе от (0,0) к (a,b) мы переходим ровно (a-1) + (b-1) + (a+b-1) = 2(a+b) - 3 стороны, то есть n = 2(a+b)-3.
Отсюда следует, что мы должны иметь \gcd(n,6) = 1, поскольку n нечетно, и n \equiv 4a-3 \not\equiv 0 \pmod 3 (поскольку a \equiv b \ not\equiv 0 \pmod 3).
Теперь можно вручную проверить отсутствие рабочих пар для n=5 и n=17. Затем мы приводим конструкции для оставшихся n:
Для n = 6k-5 возьмем P = (3k-2, 1).
Для n = 12k-1 возьмем P = (6k-5, 2).
Для n = 24k+5 возьмем P = (6k+5, 6k-1).
Для n = 24k+17 возьмем P = (6k+11, 6k-1)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.