Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2018 год
a, b және c сандарының кез келген екеуінің көбейтіндісі үшіншісіне тең емес. Егерде a+b+c=1 болса, келесі теңдікті дәлелдеңіз: (1a−bc+1b−ac+1c−ab)(a−bc)(b−ac)(c−ab)=4abc.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
(b−ac)(c−ab)+(a−bc)(c−ab)+(a−bc)(b−ac)=4abc
bc−ab2−ac2+a2bc+ac−a2b−bc2+ab2c+ab−a2c−b2c+abc2=
=(bc+ac+ab)−ab(a+b)−bc(b+c)−ac(a+c)+(a2bc+ab2c+abc2)=
=(bc+ac+ab)−ab(1−c)−bc(1−a)−ac(1−b)+abc(a+b+c⏟1)=
=(bc+ac+ab)−ab+abc−bc+abc−ac+abc+abc=
=(bc+ac+ab)−(bc+ac+ab)+4abc=4abc
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.