Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2018 год

Среди чисел $a,$ $b$ и $c$ произведение любых двух не равно третьему числу. Если $a+b+c=1$, то докажите равенство: $$\left( {\frac{1}{{a - bc}} + \frac{1}{{b - ac}} + \frac{1}{{c - ab}}} \right)\left( {a - bc} \right)\left( {b - ac} \right)\left( {c - ab} \right) = 4abc.$$

Комментарий/решение

$$ (b-ac)(c-ab)+(a-bc)(c-ab)+(a-bc)(b-ac)=4abc$$

$$ bc-ab^2-ac^2+a^2bc+ac-a^2b-bc^2+ab^2c+ab-a^2c-b^2c+abc^2=$$

$$= (bc+ac+ab)-ab(a+b)-bc(b+c)-ac(a+c)+(a^2bc+ab^2c+abc^2)=$$

$$=(bc+ac+ab)-ab(1-c)-bc(1-a)-ac(1-b)+abc(\underbrace{a+b+c}_{1})=$$

$$=(bc+ac+ab)-ab+abc-bc+abc-ac+abc +abc=$$

$$=(bc+ac+ab)-(bc+ac+ab)+4abc=4abc$$