Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2018 год

Қорапта ақ және қызыл шарлар жатыр. Алмас қораптан бір шар алып, қораптағы қалған шарлардың 5/7-і ақ шар екенін айтты. Сосын алған шарды орнына салып қойды. Одан кейін Мадина қораптан бір шарды алды да, қорапта қалған шарлардың 12/17-і ақ екенін айтты. Қорапта ең басында қанша шар болды?

Комментарий/решение

Жауабы: 120

$\frac{5}{7}$>$\frac{12}{17}$ болғандықтан Алмас қызыл шар, ал Мадина ақ шар алды. Барлық шарды $x$-деп белгілейік. Сонда теңдеуіміз келесі түрдегідей болады

$$\frac{5(x-1)}{7}=\frac{12(x-1)}{17}+1$$

$$x=120$$

5/7-12/17=1/119, так как 5/7>12/17, то Мадина взяла белый, а Алмас красный.

В итоге, после того как Алмас взял один красный мячик, белых в мешке осталось 85 из 119 шариков, а у Мадины 84/119.

119+1=120 шариков было первоначально.

ОТВЕТ:120

Решение:

Если нам говорят о том, что после того как взяли из корзины один любого цвета шарик, белые стали составлять 5/7 от всего количества, а это значит красные составляют 2/7 (Это нужно запомнить). Также и во втором случие: взяли один шарик, и 12/17-белые, 5/17.

Мы можем привести все дроби к общему знаменателю:

Красные Белые

Алмас: 85/119 34/119

Мадина:84/119 35/119

Здесь становится совсем просто:

85 красные, 34 белые, 119 всего, и одного не хватает.

119+1=120