Математикадан аудандық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып
Берілген теңдеудің нақты түбірлерін табыңыз:
x2+2ax+116=√a2+x−116−a,
бұл жерде 0<a<14.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть a2+x−16=t2 выразив x и подставляя в уравнение, оно запишется как
(t2−a2+116)2+2a(t2−a2+116)+116=t−a
Применив ещё раз замену t−a=b,t+a=d
откуда
(bd+116)2+(d−b)(bd+116)+116=b
Или
b2(d2−d)+b(d2+d8−1716)+d16+17256=0
D=(16d2−17)2162
b=116−16d
Второй корень не подходит, так как не удовлетворяет условию a∈ (0,14)
Значит
16(t−a)(1−t−a)=1
Аналогично открывая скобки и решая как кв уравнение
t=±√16a2−16a+3+24
x=±√16a2−16a+3−4a+24
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.